ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 10.19 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сколько плоскостей симметрии имеет: 1) отрезок; 2) прямая; 3) плоскость; 4) окружность; 5) угол; 6) квадрат? Опишите, как они расположены.

1) У отрезка одна плоскость симметрии — она проходит через середину отрезка и перпендикулярна ему.

2) У прямой бесконечно много плоскостей симметрии — любая плоскость, содержащая прямую, будет плоскостью симметрии.

3) У плоскости одна плоскость симметрии — сама плоскость, так как отражение относительно неё сохраняет все точки.

4) У окружности две плоскости симметрии — одна совпадает с плоскостью окружности, другая проходит через центр окружности и перпендикулярна её плоскости.

5) У угла одна плоскость симметрии — это плоскость, проходящая через вершину угла и его биссектрису.

6) У квадрата четыре плоскости симметрии — две проходят через середины противоположных сторон, две через противоположные вершины (диагонали).

У отрезка только одна плоскость симметрии, потому что симметрия означает отображение фигуры на себя относительно некоторой плоскости. Если взять отрезок \(AB\), то единственная плоскость симметрии будет проходить через его середину \(M\) и перпендикулярно самому отрезку. При отражении относительно этой плоскости точка \(A\) перейдёт в точку \(B\), а \(M\) останется на месте. Ни одна другая плоскость не сохранит всю фигуру, так как либо не будет проходить через середину, либо не будет перпендикулярна отрезку, и тогда точки отрезка отобразятся вне него.

У прямой в пространстве бесконечно много плоскостей симметрии, потому что любая плоскость, содержащая эту прямую, будет её плоскостью симметрии. Пусть прямая \(l\) задана точками \(A\) и \(B\). Возьмём любую точку \(P\) на \(l\) и любую точку \(Q\) вне \(l\). Построим плоскость, проходящую через \(l\) и точку \(Q\). При отражении относительно этой плоскости все точки прямой \(l\) останутся на месте, а точки вне прямой могут переместиться, но сама прямая отобразится на себя. Таких плоскостей бесконечно много, так как можно выбрать бесконечно много точек \(Q\) вне прямой.

Плоскость как геометрический объект обладает одной плоскостью симметрии — самой собой. Пусть плоскость \(\alpha\) лежит в пространстве. Если рассматривать симметрию относительно самой плоскости \(\alpha\), то любая точка \(M\) на \(\alpha\) при отражении останется на месте, а все остальные точки пространства отобразятся зеркально относительно \(\alpha\). Ни одна другая плоскость не обладает этим свойством для всей плоскости \(\alpha\), потому что либо будет пересекать \(\alpha\) только по прямой, либо не будет совпадать с ней, а значит, не сохранит все точки плоскости.

Окружность в пространстве имеет две плоскости симметрии. Первая — это сама плоскость, в которой лежит окружность, например, пусть окружность радиуса \(R\) с центром в точке \(O\) лежит в плоскости \(\beta\). Отражение относительно этой плоскости оставляет все точки окружности на месте. Вторая плоскость симметрии проходит через центр окружности \(O\) и перпендикулярна плоскости \(\beta\). Если провести такую плоскость, то она разделит окружность на две равные части, и отражение относительно этой плоскости переведёт каждую точку окружности в симметричную ей точку на окружности, сохраняя всю фигуру.

Угол в пространстве имеет одну плоскость симметрии. Пусть угол задан вершиной \(O\) и двумя лучами \(OA\) и \(OB\). Единственная плоскость симметрии проходит через вершину \(O\) и биссектрису угла, то есть делит угол пополам. При отражении относительно этой плоскости лучи \(OA\) и \(OB\) меняются местами, а биссектриса остаётся на месте. Другие плоскости либо не проходят через вершину, либо не делят угол пополам, поэтому не сохраняют всю фигуру при отражении.

Квадрат в пространстве имеет четыре плоскости симметрии. Пусть квадрат \(ABCD\) лежит в плоскости \(\gamma\). Две плоскости симметрии проходят через середины противоположных сторон квадрата и перпендикулярны его плоскости. Например, одна из таких плоскостей проходит через середины сторон \(AB\) и \(CD\), другая — через \(BC\) и \(DA\). Ещё две плоскости проходят через противоположные вершины квадрата, то есть диагонали \(AC\) и \(BD\), и также перпендикулярны плоскости квадрата. Каждая из этих плоскостей при отражении переводит квадрат в себя, так как симметрично разделяет его на две равные части.