ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 10.2 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Прямая t перпендикулярна прямым а и b плоскости α. Следует ли из этого, что прямая t перпендикулярна плоскости α?

Если прямая \(t\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(a\) и \(b\), лежащим в плоскости \(\alpha\), то она перпендикулярна всей плоскости \(\alpha\).

Так как \(t \perp a\) и \(t \perp b\), а \(a\) и \(b\) не параллельны и лежат в \(\alpha\), то по определению перпендикуляра к плоскости: прямая, перпендикулярная двум пересекающимся прямым плоскости, перпендикулярна самой плоскости.

Ответ: Да.

Если рассмотреть плоскость \(\alpha\) и две пересекающиеся прямые \(a\) и \(b\), которые лежат в этой плоскости, то по определению они задают направление всей плоскости \(\alpha\). Любая прямая, проходящая через их точку пересечения и лежащая в \(\alpha\), может быть выражена как линейная комбинация направлений \(a\) и \(b\).

Если прямая \(t\) перпендикулярна прямой \(a\) (\(t \perp a\)) и одновременно перпендикулярна прямой \(b\) (\(t \perp b\)), то она будет перпендикулярна любому направлению, которое лежит в плоскости \(\alpha\). Это означает, что для любой прямой \(c\), лежащей в \(\alpha\) и проходящей через точку пересечения \(a\) и \(b\), выполняется \(t \perp c\).

Согласно определению, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна всей плоскости. Это означает, что угол между прямой \(t\) и плоскостью \(\alpha\) составляет \(90^\circ\), то есть \(t\) является нормалью к этой плоскости. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: Да.