ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 10.21 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В тетраэдре DABC известно, что AB = AC, \(\angle BAD = \angle CAD\). Докажите, что AD \(\perp\) BC.

В треугольниках \(ABD\) и \(ACD\) по условию \(AB = AC\) и \(\angle BAD = \angle CAD\), значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников следует, что \(BD = CD\) и \(AD\) — медиана, биссектриса и высота.

Следовательно, \(AD \perp BC\).

Пусть дан тетраэдр \(DABC\), в котором \(AB = AC\) и углы при вершине \(A\) равны: \(\angle BAD = \angle CAD\). Рассмотрим треугольники \(ABD\) и \(ACD\). По условию в этих треугольниках две стороны равны: \(AB = AC\), а также равны углы при вершине \(A\): \(\angle BAD = \angle CAD\). Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними) получаем, что треугольники \(ABD\) и \(ACD\) равны.

Из равенства треугольников \(ABD\) и \(ACD\) следует, что соответствующие элементы этих треугольников равны. В частности, \(BD = CD\), а также равны углы при вершине \(D\): \(\angle ABD = \angle ACD\). Точка \(K\), являющаяся серединой стороны \(BC\), будет равноудалена от точек \(B\) и \(C\). Прямая \(AD\), проходящая через вершину \(A\) и вершину \(D\), будет являться одновременно медианой, биссектрисой и высотой в треугольнике \(ABC\), поскольку треугольник \(ABC\) равнобедренный (\(AB = AC\)), а точка \(D\) расположена так, что \(\angle BAD = \angle CAD\).

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая из вершины, лежащей напротив основания, совпадает с высотой и биссектрисой. Таким образом, прямая \(AD\) проходит через вершину \(A\) и основание \(BC\), причём пересекает \(BC\) под прямым углом. Следовательно, \(AD \perp BC\), то есть прямая \(AD\) перпендикулярна стороне \(BC\) тетраэдра \(DABC\).