ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 10.22 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В тетраэдре DABC известно, что \(\angle ABD = \angle CBD\), \(\angle ADB = \angle CDB\). Докажите, что BD \(\perp\) AC.

В треугольнике \(DBC\) по условию \(\angle DBC = \angle DCB\), значит, треугольник равнобедренный (\(DB = DC\)).

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины, является одновременно медианой и высотой.

Следовательно, \(BD\) — высота, значит \(BD \perp AC\).

Рассмотрим треугольник \(DBC\). По условию задачи углы при основании равны: \(\angle DBC = \angle DCB\). Это означает, что треугольник \(DBC\) является равнобедренным, то есть его стороны \(DB\) и \(DC\) равны между собой: \(DB = DC\). В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины, лежащей напротив основания, совпадает с медианой и высотой. Следовательно, если мы проведём биссектрису из вершины \(D\) к основанию \(BC\), эта биссектриса будет одновременно медианой и высотой треугольника.

В задаче также отмечено, что \(\angle ABD = \angle CBD\) и \(\angle ADB = \angle CDB\). Это значит, что точка \(B\) расположена так, что отрезок \(BD\) делит угол \(ABC\) на две равные части, то есть \(BD\) является биссектрисой угла \(ABC\). Но поскольку треугольник \(DBC\) равнобедренный, биссектриса, проведённая из вершины \(D\), будет также медианой и высотой. Таким образом, отрезок \(BD\) перпендикулярен к прямой, проходящей через основание \(BC\), а также к отрезку \(AC\), потому что \(AC\) лежит на основании тетраэдра и пересекается с высотой \(BD\) под прямым углом.

Таким образом, мы приходим к выводу, что \(BD\) является высотой, проведённой из вершины \(D\) к основанию \(AC\) равнобедренного треугольника \(DBC\). По свойству высоты в равнобедренном треугольнике она всегда перпендикулярна основанию. Следовательно, \(BD \perp AC\), что и требовалось доказать.