ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 10.25 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Данная точка, расположенная вне плоскости правильного треугольника, равноудалена от его вершин. Докажите, что прямая, проходящая через данную точку и центр данного треугольника, перпендикулярна плоскости треугольника.

Дано: точка \( D \) вне плоскости правильного треугольника \( ABC \), причем \( DA = DB = DC \).

Рассмотрим центр \( O \) треугольника \( ABC \). Точка \( D \) равноудалена от всех вершин, значит, прямая \( DO \) проходит через центр симметрии и перпендикулярна плоскости \( ABC \).

Следовательно, \( DO \perp (ABC) \), что и требовалось доказать.

Рассмотрим правильный треугольник \( ABC \), лежащий в некоторой плоскости. Центр этого треугольника \( O \) совпадает с точкой пересечения его медиан, высот и биссектрис, то есть \( O \) — центр симметрии треугольника. Пусть точка \( D \) расположена вне плоскости \( ABC \) так, что \( DA = DB = DC \). Это означает, что точка \( D \) равноудалена от всех вершин треугольника. Геометрически множество точек, равноудалённых от трёх не лежащих на одной прямой точек, образует ось, проходящую через центр окружности, описанной около треугольника, перпендикулярно плоскости этого треугольника. В случае правильного треугольника центр описанной окружности совпадает с центром треугольника.

Пусть радиус описанной окружности равен \( R \), тогда координаты центра \( O \) можно выразить через координаты вершин \( A, B, C \). Если треугольник расположен так, что его центр \( O \) имеет координаты \( (x_0, y_0, 0) \), то точка \( D \) будет иметь координаты \( (x_0, y_0, h) \), где \( h \) — расстояние от плоскости треугольника до точки \( D \) вдоль нормали к плоскости \( ABC \). Так как \( DA = DB = DC \), то \( D \) лежит на прямой, проходящей через \( O \) и перпендикулярной плоскости \( ABC \). Эта прямая называется осью симметрии правильного треугольника относительно его плоскости. Таким образом, любые точки \( D_1 \) и \( D_2 \), расположенные на этой прямой на одинаковом расстоянии от \( O \), будут равноудалены от всех вершин треугольника.

Докажем, что прямая \( DO \) перпендикулярна плоскости \( ABC \). По определению, если точка \( D \) лежит на оси симметрии, проходящей через центр треугольника и перпендикулярной его плоскости, то прямая \( DO \) совпадает с этой осью. Перпендикулярность можно показать следующим образом: пусть вектор нормали к плоскости \( ABC \) равен \( \vec{n} \), тогда вектор \( \vec{DO} \) параллелен \( \vec{n} \), поскольку \( D \) лежит на прямой, проходящей через \( O \) вдоль нормали к плоскости. Следовательно, угол между \( \vec{DO} \) и плоскостью \( ABC \) равен \( 90^\circ \), то есть \( DO \perp (ABC) \).

Итак, если точка \( D \) вне плоскости правильного треугольника \( ABC \) и \( DA = DB = DC \), то прямая \( DO \), соединяющая точку \( D \) с центром треугольника \( O \), перпендикулярна плоскости \( ABC \), поскольку \( D \) лежит на оси симметрии, проходящей через центр треугольника и перпендикулярной его плоскости. Это и требовалось доказать.