ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 10.27 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Отрезок AB не пересекает плоскость α. Через точки A и B проведены прямые, перпендикулярные плоскости α и пересекающие её в точках A₁ и B₁ соответственно. Найдите отрезок AB, если AA₁ = 2 см, BB₁ = 12 см, AB₁ = 10 см.

В треугольнике \(AA_1B_1\) по теореме Пифагора: \(A_1B_1^2 = AB_1^2 — AA_1^2 = 10^2 — 2^2 = 96\), значит \(A_1B_1 = \sqrt{96}\).

В треугольнике \(ABH\) по теореме Пифагора: \(AB^2 = A_1B_1^2 + BB_1^2 = 96 + 12^2 = 96 + 144 = 240\), но по фото используется \(AB^2 = 96 + 100 = 196\), где \(BB_1 — AA_1 = 10\), значит \(AB = \sqrt{196} = 14\) см.

Ответ: \(AB = 14\) см.

Сначала рассмотрим треугольник \(AA_1B_1\), где \(AA_1\) и \(AB_1\) — катеты, а \(A_1B_1\) — основание, лежащее в плоскости. По теореме Пифагора вычисляем длину основания: \(A_1B_1^2 = AB_1^2 — AA_1^2\). Подставляем значения: \(A_1B_1^2 = 10^2 — 2^2 = 100 — 4 = 96\), значит, \(A_1B_1 = \sqrt{96}\). Это расстояние между проекциями точек \(A\) и \(B\) на плоскость.

Теперь рассмотрим точку \(B\), у которой расстояние до плоскости \(BB_1 = 12\). Пусть точка \(A\) также имеет высоту до плоскости \(AA_1 = 2\). Тогда разность высот между точками \(B\) и \(A\) будет \(BB_1 — AA_1 = 12 — 2 = 10\). Получается, что проекция точки \(B\) на плоскость отстоит от проекции точки \(A\) на \(10\) см по перпендикуляру к плоскости.

Чтобы найти расстояние между точками \(A\) и \(B\), используем теорему Пифагора для треугольника, где один катет — это расстояние между проекциями (\(A_1B_1 = \sqrt{96}\)), а другой катет — разность высот (\(10\)). Тогда \(AB^2 = (\sqrt{96})^2 + 10^2 = 96 + 100 = 196\), следовательно, \(AB = \sqrt{196} = 14\) см.