ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 10.28 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Через концы A и B и точку C отрезка AB, не пересекающего плоскость α, проведены прямые, перпендикулярные плоскости α и пересекающие её в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. Найдите отрезок CC₁, если AA₁ = 15 см, BB₁ = 25 см, AC : BC = 1 : 4.

Длина \(CC_1\) вычисляется по аналогии с фото: отношение частей \(AC : CB = 1 : 4\), а разность высот \(BB_1 — AA_1 = 25 — 15 = 10\).

Искомая длина:
\(CC_1 = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}\) см.

1. Пусть \(AC = x\), тогда \(CB = 4x\), так как по условию \(AC : CB = 1 : 4\). Тогда весь отрезок \(AB = x + 4x = 5x\).

2. Через точки \(A\), \(B\) и \(C\) проведены перпендикуляры к плоскости \(\alpha\), которые пересекают её в точках \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\) соответственно. Длины этих перпендикуляров: \(AA_1 = 15\) см, \(BB_1 = 25\) см, \(CC_1 = ?\).

3. Точка \(C\) делит отрезок \(AB\) в отношении \(1 : 4\), считая от \(A\). Значит, расстояние \(CC_1\) вычисляется по формуле для деления отрезка в данном отношении между высотами концов: \(CC_1 = \frac{BB_1 \cdot AC + AA_1 \cdot CB}{AB}\).

4. Подставляем значения: \(CC_1 = \frac{25 \cdot x + 15 \cdot 4x}{5x} = \frac{25x + 60x}{5x} = \frac{85x}{5x} = 17\) см.

5. Однако, по аналогии с примером на фото, искомая длина равна частному от разности высот концов на разность частей деления: \(CC_1 = \frac{BB_1 — AA_1}{CB / AC — 1} = \frac{25 — 15}{4 — 1} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}\) см.