ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 10.31 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

При симметрии относительно плоскости образом прямой a является прямая a₁. Докажите, что прямые a и a₁ лежат в одной плоскости.

При симметрии относительно плоскости образом прямой \(a\) является прямая \(a_1\). Прямые \(a\) и \(a_1\) пересекаются либо параллельны, значит, они лежат в одной плоскости.

\(a\) и \(a_1\) \(\in\) одной плоскости.

Докажем: \(a\) и \(a_1\) \(\in\) одной плоскости.

Пусть дана плоскость симметрии \(\alpha\). Прямая \(a_1\) — это образ прямой \(a\) при симметрии относительно плоскости \(\alpha\).

Рассмотрим произвольную точку \(A\) на прямой \(a\). Её образом при симметрии будет точка \(A_1\) на прямой \(a_1\), причем \(AA_1\) перпендикулярна плоскости \(\alpha\), а середина отрезка \(AA_1\) лежит в плоскости \(\alpha\).

Аналогично, для любой другой точки \(B\) на \(a\), её образом будет точка \(B_1\) на \(a_1\), и отрезок \(BB_1\) также будет перпендикулярен \(\alpha\), а середина \(BB_1\) принадлежит \(\alpha\).

Таким образом, точки \(A\), \(A_1\), \(B\), \(B_1\) лежат в пространстве так, что прямые \(a\) и \(a_1\) определяются этими точками и их симметрией относительно одной и той же плоскости \(\alpha\).

Следовательно, прямые \(a\) и \(a_1\) лежат в одной плоскости, так как через две пересекающиеся или параллельные прямые всегда можно провести единственную плоскость.

\(a\) и \(a_1\) \(\in\) одной плоскости.