ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 10.32 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно a. Точка M — середина ребра DC. Постройте сечение куба, проходящее через точку M и перпендикулярное прямой BD. Найдите площадь этого сечения.

Сечение проходит через точки \(A_1\), \(C_1\), \(M\) (середина \(DC\)), и \(O\) (центр основания).
Длина \(A_1C_1 = a\).
Длина \(MO = a\sqrt{2}\).
Площадь сечения:
\(S = \frac{1}{2} a \cdot a\sqrt{2} = \frac{a^2\sqrt{2}}{2}\).

1. Пусть куб имеет ребро \(a\), обозначим его вершины: \(A, B, C, D, A_1, B_1, C_1, D_1\).
2. Точка \(M\) — середина ребра \(DC\), её координаты: \((a, \frac{a}{2}, 0)\).
3. Прямая \(BD\) проходит через точки \(B(0, a, 0)\) и \(D(a, 0, 0)\).
4. Сечение должно проходить через точку \(M\) и быть перпендикулярно прямой \(BD\).
5. Направляющий вектор \(BD\): \((a, -a, 0)\).
6. Сечение будет плоскостью, проходящей через \(M\) и перпендикулярной вектору \(BD\).
7. Уравнение плоскости: \(a(x — a) — a(y — \frac{a}{2}) = 0\), упрощаем: \(x — y = \frac{a}{2}\).
8. Найдём точки пересечения этой плоскости с рёбрами куба:
— Пересечение с \(A_1B_1\): \(z = a\), \(x = 0\), \(y = y\): \(0 — y = \frac{a}{2}\) ⇒ \(y = -\frac{a}{2}\) (точка вне куба).
— Пересечение с \(A_1D_1\): \(z = a\), \(y = 0\), \(x = x\): \(x — 0 = \frac{a}{2}\) ⇒ \(x = \frac{a}{2}\), точка \((\frac{a}{2}, 0, a)\).
— Пересечение с \(C_1D_1\): \(z = a\), \(x = a\), \(y = y\): \(a — y = \frac{a}{2}\) ⇒ \(y = \frac{a}{2}\), точка \((a, \frac{a}{2}, a)\).
— Пересечение с \(A_1A\): \(x = 0\), \(y = 0\), \(z = z\): \(0 — 0 = \frac{a}{2}\) ⇒ нет точки на ребре.
— Пересечение с \(CC_1\): \(x = a\), \(y = a\), \(z = z\): \(a — a = \frac{a}{2}\) ⇒ нет точки на ребре.
— Пересечение с \(B_1C_1\): \(z = a\), \(y = a\), \(x = x\): \(x — a = \frac{a}{2}\) ⇒ \(x = \frac{3a}{2}\) (точка вне куба).
— Пересечение с \(AB\): \(z = 0\), \(x = 0\), \(y = y\): \(0 — y = \frac{a}{2}\) ⇒ \(y = -\frac{a}{2}\) (точка вне куба).
— Пересечение с \(AD\): \(z = 0\), \(y = 0\), \(x = x\): \(x — 0 = \frac{a}{2}\) ⇒ \(x = \frac{a}{2}\), точка \((\frac{a}{2}, 0, 0)\).
— Пересечение с \(DC\): \(z = 0\), \(x = a\), \(y = y\): \(a — y = \frac{a}{2}\) ⇒ \(y = \frac{a}{2}\), точка \((a, \frac{a}{2}, 0)\) — это \(M\).
9. Получаем четыре точки сечения: \(M(a, \frac{a}{2}, 0)\), \((\frac{a}{2}, 0, 0)\), \((\frac{a}{2}, 0, a)\), \((a, \frac{a}{2}, a)\).
10. Эти точки образуют прямоугольник, две стороны которого равны \(a\), две — \(a\sqrt{2}\).
Площадь сечения:
\(S = a \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a^{2}\sqrt{2}}{2}\).