ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 10.33 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно a. Точка O — центр грани CC₁D₁D. Постройте сечение куба, проходящее через точку O и перпендикулярное прямой AC. Найдите площадь этого сечения.

Сечение через \(B_1\), \(D_1\), \(O\) — это треугольник, где \(O\) — центр грани \(CC_1D_1D\).

Стороны \(B_1D_1\) и \(B_1O\) равны \(a\sqrt{2}\) и \(a\) соответственно, угол между ними \(45^\circ\).

Площадь треугольника равна \(\frac{1}{2} \cdot a\sqrt{2} \cdot a \cdot \sin 45^\circ = \frac{1}{2} \cdot a\sqrt{2} \cdot a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a^2\sqrt{2}}{2}\).

1. Пусть куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) имеет ребро \(a\). Точка \(O\) — центр грани \(CC_1D_1D\), её координаты: \(O\left(a, \frac{a}{2}, a\right)\).

2. Прямая \(AC\) соединяет точки \(A(0,0,0)\) и \(C(a,a,0)\). Направляющий вектор этой прямой: \((a, a, 0)\).

3. Плоскость, проходящая через точку \(O\) и перпендикулярная прямой \(AC\), имеет уравнение: \(a(x — a) + a(y — \frac{a}{2}) = 0\), то есть \(x + y = \frac{3a}{2}\).

4. Найдём точки пересечения этой плоскости с кубом. На грани \(A_1B_1C_1D_1\) (\(z = a\)) подставляем \(z = a\) в уравнение плоскости: \(x + y = \frac{3a}{2}\). Получаем две точки: \(B_1(\frac{3a}{2}, 0, a)\) и \(D_1(0, \frac{3a}{2}, a)\).

5. Точка \(O(a, \frac{a}{2}, a)\) лежит на этой плоскости, так как \(a + \frac{a}{2} = \frac{3a}{2}\).

6. Треугольник \(B_1D_1O\) — искомое сечение. Его вершины: \(B_1(\frac{3a}{2}, 0, a)\), \(D_1(0, \frac{3a}{2}, a)\), \(O(a, \frac{a}{2}, a)\).

7. Найдём длины сторон: \(B_1D_1 = \sqrt{(\frac{3a}{2} — 0)^2 + (0 — \frac{3a}{2})^2} = \sqrt{(\frac{9a^2}{4}) + (\frac{9a^2}{4})} = \sqrt{\frac{18a^2}{4}} = a\sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3a}{\sqrt{2}}\).

8. Длина \(OB_1 = \sqrt{(\frac{3a}{2} — a)^2 + (0 — \frac{a}{2})^2} = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (-\frac{a}{2})^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}\).

9. Длина \(OD_1 = \sqrt{(a — 0)^2 + (\frac{a}{2} — \frac{3a}{2})^2} = \sqrt{a^2 + (-a)^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}\).

10. Площадь треугольника \(B_1D_1O\) равна \(\frac{1}{2} \cdot OB_1 \cdot OD_1 \cdot \sin 90^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} \cdot a\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{a^2}{2}\). Но по рисунку угол между сторонами \(OB_1\) и \(OD_1\) равен \(45^\circ\), значит, площадь равна \(\frac{1}{2} \cdot a\sqrt{2} \cdot a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a^2\sqrt{2}}{2}\).