ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 10.34 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой плоскости.

1. Пусть \( l \cap \beta = B \), \( l \not\subset \beta \), тогда через точку \( B \) можно провести плоскость \( \beta_1 \), такую что \( \beta_1 \) содержит прямую \( l \) и \( \beta_1 \parallel \beta \).

2. Так как \( l \perp \alpha \), а \( \alpha \parallel \beta \), то \( l \perп \beta_1 \), потому что \( \beta_1 \) проходит через \( l \) и параллельна \( \beta \).

3. Через точку \( B \) не может проходить две различные плоскости, параллельные \( \beta \), поскольку через прямую и точку вне её можно провести только одну плоскость.

4. Следовательно, \( l \perp \beta \).

Пусть даны две плоскости: \( \alpha \) и \( \beta \), такие что \( \alpha \parallel \beta \). Пусть прямая \( l \) перпендикулярна плоскости \( \alpha \), то есть \( l \perp \alpha \). Требуется доказать, что \( l \perp \beta \).

Рассмотрим точку \( A \), лежащую на прямой \( l \), и проведём через неё плоскость \( \gamma \), такую что \( \gamma \) содержит прямую \( l \) и пересекает плоскость \( \alpha \) по прямой \( m \). По определению перпендикулярности, если \( l \perp \alpha \), то \( l \) перпендикулярна любой прямой \( n \), лежащей в \( \alpha \) и проходящей через точку пересечения \( l \) и \( \alpha \). Это означает, что угол между \( l \) и любой такой прямой \( n \) равен \( 90^\circ \).

Теперь рассмотрим плоскость \( \beta \), которая параллельна \( \alpha \). По свойству параллельных плоскостей, если \( \alpha \parallel \beta \), то для любой прямой \( n_1 \subset \beta \), параллельной \( n \subset \alpha \), угол между \( l \) и \( n_1 \) также будет равен \( 90^\circ \), так как параллельные прямые сохраняют угол между ними при параллельном переносе. Следовательно, \( l \) будет перпендикулярна любой прямой, лежащей в \( \beta \), проходящей через точку пересечения \( l \) и \( \beta \).

Таким образом, по определению перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая \( l \) перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости \( \beta \) и проходящим через точку пересечения \( l \) и \( \beta \), то \( l \perp \beta \). Следовательно, если \( l \perp \alpha \) и \( \alpha \parallel \beta \), то \( l \perp \beta \).