ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 10.35 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что прямые, проходящие через данную точку прямой и перпендикулярные этой прямой, лежат в одной плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной этой прямой.

Пусть дана прямая \(a\) и точка \(M \in a\). Через точку \(M\) можно провести прямые \(b_1, b_2, \ldots, b_n\), перпендикулярные \(a\).

Все такие прямые лежат в одной плоскости \(L\), проходящей через точку \(M\) и перпендикулярной прямой \(a\), так как через точку вне прямой можно провести единственную плоскость, перпендикулярную данной прямой.

Следовательно, \(b_1, b_2, \ldots, b_n \subset L\).

Пусть дана прямая \(a\) и точка \(M\), принадлежащая этой прямой: \(M \in a\). Через точку \(M\) можно провести множество прямых, обозначим их \(b_1, b_2, \ldots, b_n\), причем каждая из них перпендикулярна прямой \(a\), то есть для любого \(i\) выполняется условие \(b_i \perp a\). Рассмотрим геометрическую ситуацию: если взять точку на прямой и провести через неё все возможные прямые, перпендикулярные данной прямой, то они будут лежать в одной плоскости.

Докажем это. Через точку \(M\), не лежащую на прямой \(a\), можно провести единственную плоскость \(L\), такую что \(L \perp a\) и \(M \in L\). В нашем случае точка \(M\) лежит на \(a\), но утверждение остается верным: через точку на прямой можно провести единственную плоскость, перпендикулярную этой прямой. Все прямые, проходящие через \(M\) и перпендикулярные \(a\), лежат в этой плоскости \(L\), потому что по определению перпендикулярности прямой и плоскости, любая прямая, проходящая через точку пересечения и перпендикулярная данной прямой, содержится в плоскости, перпендикулярной этой прямой.

Предположим, что существует прямая \(b_k\), проходящая через \(M\) и перпендикулярная \(a\), но не лежащая в плоскости \(L\). Это невозможно, так как тогда через точку \(M\) к прямой \(a\) можно было бы провести две различные плоскости, перпендикулярные \(a\), что противоречит аксиоме геометрии о единственности такой плоскости. Следовательно, все прямые \(b_1, b_2, \ldots, b_n\), проходящие через точку \(M\) и перпендикулярные прямой \(a\), обязательно лежат в одной плоскости \(L\), проходящей через \(M\) и перпендикулярной \(a\).