ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 10.36 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Существуют ли в пространстве четыре попарно перпендикулярные прямые?

В трехмерном пространстве можно провести только три попарно перпендикулярные прямые, соответствующие осям координат \(x\), \(y\), \(z\).

Четыре попарно перпендикулярные прямые не могут существовать, так как для каждой новой прямой требуется новое измерение.

Ответ: нет, не существует, так как пространство трехмерное.

В пространстве, имеющем три измерения, то есть в обычном евклидовом пространстве, можно провести только три прямые, которые будут попарно перпендикулярны друг другу. Эти прямые соответствуют осям координат \(x\), \(y\) и \(z\), и каждая из них лежит в своем направлении, не совпадая с другими. Перпендикулярность означает, что угол между каждой парой прямых составляет \(90^\circ\), то есть они ортогональны. Если обозначить векторы направлений этих прямых как \(\vec{a}_1\), \(\vec{a}_2\), \(\vec{a}_3\), то условие попарной перпендикулярности записывается как \(\vec{a}_i \cdot \vec{a}_j = 0\) для всех \(i \neq j\).

Попытка добавить четвертую прямую, которая была бы перпендикулярна всем предыдущим трём, невозможна в трёхмерном пространстве. Для того чтобы провести прямую, перпендикулярную сразу трём независимым направлениям, требуется четвёртое измерение, которого в нашем пространстве нет. Вектор, ортогональный сразу трём независимым векторам в \(\mathbb{R}^3\), обязательно будет нулевым, то есть \(\emptyset\) — такого ненулевого направления просто не существует. В общем виде, в \(n\)-мерном пространстве можно провести максимум \(n\) попарно перпендикулярных прямых.

Таким образом, в трёхмерном пространстве число попарно перпендикулярных прямых ограничено тремя, и попытка добавить четвёртую приводит к противоречию с геометрией пространства. Это фундаментальное свойство размерности: каждое новое независимое направление требует отдельного измерения. Поэтому ответ на вопрос — четыре попарно перпендикулярные прямые в трёхмерном пространстве не существуют, так как пространство трёхмерное и максимум возможных таких направлений равен трём.