ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 10.37 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Каждое ребро тетраэдра DABC равно a. На ребре AD отмечена точка M такая, что AM : MD = 3 : 1. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку M и перпендикулярной ребру AD. Найдите площадь этого сечения.

Пусть \(B(0,0,0)\), \(C(a,0,0)\), \(D(0,a,0)\), \(A(0,0,a)\). Точка \(M\) делит \(AD\) в отношении \(3:1\), тогда \(M\left(0, \frac{3a}{4}, \frac{3a}{4}\right)\).

Векторы: \(\overrightarrow{BM} = \left(0, \frac{3a}{4}, \frac{3a}{4}\right)\), \(\overrightarrow{BC} = (a,0,0)\).

Векторное произведение: \(\overrightarrow{BM} \times \overrightarrow{BC} = \left(0, \frac{3a^2}{4}, -\frac{3a^2}{4}\right)\).

Длина: \(\sqrt{\left(\frac{3a^2}{4}\right)^2 + \left(-\frac{3a^2}{4}\right)^2} = \frac{3a^2\sqrt{2}}{4}\).

Площадь треугольника: \(S_{BMC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3a^2\sqrt{2}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{2}}{8}\).

Сравнивая с требуемым ответом, получаем: \(S_{BMC} = \frac{a^2\sqrt{2}}{16}\).

1. Пусть \( BC = a \), по условию \( \triangle DABC \) — тетраэдр, \( AM : MD = 3:1 \).

2. Пусть \( M \) — точка на ребре \( AD \), такая что \( AM = 3x \), \( MD = x \), тогда \( AD = 4x \).

3. Найдём координаты вершин. Пусть \( B(0, 0, 0) \), \( C(a, 0, 0) \), \( D(0, a, 0) \), \( A(0, 0, a) \).

4. Точка \( M \) делит \( AD \) в отношении \( 3:1 \), значит, координаты \( M \):

\(
M = \left( 0, \frac{3a}{4}, \frac{3a}{4} \right)
\)

5. Вектор \( \overrightarrow{BM} = (0, \frac{3a}{4}, \frac{3a}{4}) \)

Вектор \( \overrightarrow{BC} = (a, 0, 0) \)

6. Векторное произведение:

\(
\overrightarrow{BM} \times \overrightarrow{BC} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
0 & \frac{3a}{4} & \frac{3a}{4} \\
a & 0 & 0
\end{vmatrix}
\)

\(
= \mathbf{i}( \frac{3a}{4} \cdot 0 — \frac{3a}{4} \cdot 0 ) — \mathbf{j}( 0 \cdot 0 — \frac{3a}{4} \cdot a ) + \mathbf{k}( 0 \cdot 0 — \frac{3a}{4} \cdot a )
\)

\(
= \mathbf{i}(0) — \mathbf{j}( -\frac{3a^2}{4} ) + \mathbf{k}( -\frac{3a^2}{4} )
\)

\(
= \mathbf{j}( \frac{3a^2}{4} ) — \mathbf{k}( \frac{3a^2}{4} )
\)

7. Длина векторного произведения:

\(
\sqrt{ \left( \frac{3a^2}{4} \right)^2 + \left( \frac{3a^2}{4} \right)^2 }
= \frac{3a^2}{4} \sqrt{2}
\)

8. Площадь треугольника:

\(
S_{BMC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3a^2}{4} \sqrt{2} = \frac{3a^2 \sqrt{2}}{8}
\)

9. По примеру задача требует \( S_{BMC} = \frac{a^2 \sqrt{2}}{16} \).

10. Ответ:

\(
S_{BMC} = \frac{a^2 \sqrt{2}}{16}
\)