ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 10.38 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Рёбра тетраэдра DABC равны, точка O — центр треугольника ABC. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку O перпендикулярно прямой AD.

Пусть \(O\) — центр треугольника \(ABC\).
Проведём через \(O\) плоскость, перпендикулярную прямой \(AD\).
Эта плоскость пересекает рёбра \(AB\), \(AC\), \(BC\), \(DB\), \(DC\) в точках \(Q\), \(L\), \(N\), \(M\).
Сечение — четырёхугольник \(LQNM\), где \(L\), \(Q\), \(N\) — точки пересечения плоскости с рёбрами, \(M = O\).
Ответ: сечение — четырёхугольник \(LQNM\).

1. Пусть вершины тетраэдра \(DABC\) имеют координаты: \(A(0,0,0)\), \(B(1,0,0)\), \(C\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)\), \(D\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}, h\right)\), где \(h\) — высота, выраженная через сторону \(a=1\), \(h = \sqrt{\frac{2}{3}}\).

2. Центр треугольника \(ABC\) имеет координаты \(O\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}, 0\right)\).

3. Прямая \(AD\) проходит через точки \(A(0,0,0)\) и \(D\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}, h\right)\). Направляющий вектор \(AD\) равен \(\vec{v}_{AD} = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}, h\right)\).

4. Плоскость проходит через точку \(O\) и перпендикулярна \(AD\). Ее уравнение:
\(\frac{1}{2}(x — \frac{1}{2}) + \frac{\sqrt{3}}{6}(y — \frac{\sqrt{3}}{6}) + h(z — 0) = 0\).

5. Найдем точки пересечения этой плоскости с рёбрами тетраэдра:

6. Для ребра \(AB\):
Параметризация: \(A(0,0,0)\), \(B(1,0,0)\), точка \(Q(t) = (t, 0, 0)\), где \(t \in [0,1]\).
Подставляем в уравнение плоскости:
\(\frac{1}{2}(t — \frac{1}{2}) + \frac{\sqrt{3}}{6}(0 — \frac{\sqrt{3}}{6}) + h(0) = 0\)
\(\frac{1}{2}t — \frac{1}{4} — \frac{\sqrt{3}}{36} = 0\)
\(\frac{1}{2}t = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{36}\)
\(t = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{18}\)
Точка \(Q: \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{18}, 0, 0\right)\).

7. Для ребра \(AC\):
Параметризация: \(A(0,0,0)\), \(C\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)\), точка \(L(s) = \left(\frac{s}{2}, \frac{s \sqrt{3}}{2}, 0\right)\), \(s \in [0,1]\).
Подставляем:
\(\frac{1}{2}(\frac{s}{2} — \frac{1}{2}) + \frac{\sqrt{3}}{6}(\frac{s \sqrt{3}}{2} — \frac{\sqrt{3}}{6}) + h(0) = 0\)
\(\frac{1}{4}s — \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{s\sqrt{3}}{2} — \frac{\sqrt{3}}{36} = 0\)
\(\frac{1}{4}s — \frac{1}{4} + \frac{3}{12}s — \frac{\sqrt{3}}{36} = 0\)
\(\frac{1}{4}s + \frac{1}{4}s — \frac{1}{4} — \frac{\sqrt{3}}{36} = 0\)
\(\frac{1}{2}s = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{36}\)
\(s = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{18}\)
Точка \(L: \left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{36}, \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{12}, 0\right)\).

8. Для ребра \(BC\):
Параметризация: \(B(1,0,0)\), \(C\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)\), точка \(N(u) = (1 — \frac{u}{2}, \frac{u\sqrt{3}}{2}, 0)\), \(u \in [0,1]\).
Подставляем:
\(\frac{1}{2}(1 — \frac{u}{2} — \frac{1}{2}) + \frac{\sqrt{3}}{6}(\frac{u\sqrt{3}}{2} — \frac{\sqrt{3}}{6}) + h(0) = 0\)
\(\frac{1}{2}(\frac{1}{2} — \frac{u}{2}) + \frac{\sqrt{3}}{6}(\frac{u\sqrt{3}}{2} — \frac{\sqrt{3}}{6}) = 0\)
\(\frac{1}{4} — \frac{u}{4} + \frac{3u}{12} — \frac{\sqrt{3}}{36} = 0\)
\(\frac{1}{4} — \frac{u}{4} + \frac{u}{4} — \frac{\sqrt{3}}{36} = 0\)
\(\frac{1}{4} — \frac{\sqrt{3}}{36} = 0\)
Точка \(N: (1 — \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)\).

9. Для ребра \(DB\):
Параметризация: \(D\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}, h\right)\), \(B(1,0,0)\), точка \(M(v) = \left(\frac{1}{2} + v(\frac{1}{2}), \frac{\sqrt{3}}{6} — v(\frac{\sqrt{3}}{6}), h — v h\right)\), \(v \in [0,1]\).
Подставляем:
\(\frac{1}{2}(\frac{1}{2} + v\frac{1}{2} — \frac{1}{2}) + \frac{\sqrt{3}}{6}(\frac{\sqrt{3}}{6} — v\frac{\sqrt{3}}{6} — \frac{\sqrt{3}}{6}) + h(h — v h) = 0\)
\(\frac{1}{2}v\frac{1}{2} + h(h — v h) = 0\)
\(\frac{v}{4} + h^2 — v h^2 = 0\)
\(h^2(1 — v) + \frac{v}{4} = 0\)
\(v = \frac{4 h^2}{1 + 4 h^2}\)
Точка \(M: \left(\frac{1}{2} + \frac{2 h^2}{1 + 4 h^2}, \frac{\sqrt{3}}{6} — \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{4 h^2}{1 + 4 h^2}, h — h \cdot \frac{4 h^2}{1 + 4 h^2}\right)\).

10. Таким образом, сечение — четырёхугольник с вершинами \(Q, L, N, M\), где координаты найдены выше.