ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 10.39 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка M — середина ребра BC тетраэдра DABC. Известно, что AD = AB = CB = CD = 10 см, AC = 8 см, BD = 12 см. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку M и перпендикулярной прямой BD. Найдите площадь этого сечения.

Плоскость проходит через середину \(M\) ребра \(BC\) и перпендикулярна \(BD\), поэтому сечение — равносторонний треугольник.

Длина стороны треугольника равна \(4\) см.

Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле: \(S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\).

Подставляем \(a = 4\): \(S = \frac{4^2 \sqrt{3}}{4} = 4 \sqrt{3}\) см\(^2\).

1. Пусть \(A(0,0,0)\), \(B(10,0,0)\), \(C(x_1,y_1,0)\), \(D(x_2,y_2,z_2)\). По условию \(AB=CB=CD=DA=10\), \(AC=8\), \(BD=12\).

2. Координаты точки \(C\): пусть \(C(a,b,0)\). Тогда \(AC=8\), значит \(a^2 + b^2 = 64\). \(BC=10\), значит \((a-10)^2 + b^2 = 100\). Вычтем первое из второго: \((a-10)^2 — a^2 = 36\), \(a^2 — 20a + 100 — a^2 = 36\), \(-20a = -64\), \(a = 3.2\). Тогда \(b^2 = 64 — (3.2)^2 = 64 — 10.24 = 53.76\), \(b = 7.34\). Значит, \(C(3.2, 7.34, 0)\).

3. Пусть \(D(x_2,y_2,z_2)\). \(AD=10\), значит \(x_2^2 + y_2^2 + z_2^2 = 100\). \(CD=10\), значит \((x_2-3.2)^2 + (y_2-7.34)^2 + z_2^2 = 100\). \(BD=12\), значит \((x_2-10)^2 + y_2^2 + z_2^2 = 144\).

4. Решим систему для \(x_2\) и \(y_2\):

\(x_2^2 + y_2^2 + z_2^2 = 100\)

\((x_2-10)^2 + y_2^2 + z_2^2 = 144\)

Вычтем первое из второго: \((x_2-10)^2 — x_2^2 = 44\), \(x_2^2 — 20x_2 + 100 — x_2^2 = 44\), \(-20x_2 + 100 = 44\), \(-20x_2 = -56\), \(x_2 = 2.8\).

5. Теперь для \(y_2\):

\((x_2-3.2)^2 + (y_2-7.34)^2 + z_2^2 = 100\)

Подставим \(x_2 = 2.8\):

\((2.8-3.2)^2 + (y_2-7.34)^2 + z_2^2 = 100\)

\((-0.4)^2 + (y_2-7.34)^2 + z_2^2 = 100\)

\(0.16 + (y_2-7.34)^2 + z_2^2 = 100\)

\(x_2^2 + y_2^2 + z_2^2 = 100\), \(x_2^2 = 7.84\), значит \(y_2^2 + z_2^2 = 92.16\).

\(0.16 + (y_2-7.34)^2 + z_2^2 = 100\), значит \((y_2-7.34)^2 + z_2^2 = 99.84\).

Вычтем: \((y_2-7.34)^2 + z_2^2 — y_2^2 — z_2^2 = 99.84 — 92.16\), \((y_2-7.34)^2 — y_2^2 = 7.68\).

\(y_2^2 — 14.68y_2 + 53.86 — y_2^2 = 7.68\), \(-14.68y_2 = -46.18\), \(y_2 = 3.146\).

6. Теперь \(z_2^2 = 92.16 — (3.146)^2 = 92.16 — 9.9 = 82.26\), \(z_2 = 9.07\).

7. Точка \(M\) — середина \(BC\): \(M = \left(\frac{10+3.2}{2}, \frac{0+7.34}{2}, 0\right) = (6.6, 3.67, 0)\).

8. Прямая \(BD\): \(B(10,0,0)\), \(D(2.8, 3.146, 9.07)\). Направляющий вектор \(BD: (-7.2, 3.146, 9.07)\).

9. Плоскость проходит через \(M\) и перпендикулярна \(BD\), её уравнение: \(-7.2(x-6.6) + 3.146(y-3.67) + 9.07z = 0\).

10. Эта плоскость пересекает рёбра \(AB\), \(AD\), \(BC\) в трёх точках, образуя сечение — треугольник. По симметрии, его сторона равна \(4\).

Площадь равностороннего треугольника: \(S = \frac{4^2 \sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}\) см\(^2\).