ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 10.41 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Через вершину B прямоугольного треугольника ABC (\(\angle ACB = 90^\circ\)) проведена прямая BD, перпендикулярная плоскости ABC. На отрезках DC и DA отмечены точки E и F такие, что EF \(\parallel\) AC. Докажите, что BE \(\perp\) EF.

Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle ACB = 90^\circ\), \(BD \perp (ABC)\), на \(DC\) и \(DA\) отмечены \(E\) и \(F\), такие что \(EF \parallel AC\).

Так как \(BD \perp (ABC)\), то \(BD \perp AC\), а значит \(BD \perp EF\), так как \(EF \parallel AC\).

\(BE\) лежит в плоскости \(BDE\), а \(EF\) параллельна \(AC\) и лежит в плоскости, параллельной \((ABC)\).

Следовательно, \(BE \perp EF\).

1. Пусть \(\triangle ABC\) прямоугольный, \(\angle ACB = 90^\circ\). Прямая \(BD\) перпендикулярна плоскости \((ABC)\), то есть \(BD \perp AC\) и \(BD \perp BC\).

2. На лучах \(DC\) и \(DA\) отмечены точки \(E\) и \(F\) такие, что \(EF \parallel AC\). Значит, \(EF\) лежит в плоскости, параллельной \((ABC)\).

3. Поскольку \(BD \perp (ABC)\), то любая прямая, лежащая в плоскости \((ABC)\), будет перпендикулярна \(BD\). В частности, \(AC \perp BD\).

4. Так как \(EF \parallel AC\), то \(EF\) также перпендикулярна \(BD\), поскольку параллельные прямые сохраняют взаимное расположение относительно третьей.

5. Прямая \(BE\) лежит в плоскости \(BDE\), а точка \(E\) лежит на \(DC\).

6. Рассмотрим угол между \(BE\) и \(EF\). Прямая \(EF\) лежит в плоскости, параллельной \((ABC)\), а \(BE\) выходит из точки \(B\) к точке \(E\), которая лежит на \(DC\).

7. Так как \(EF \perp BD\) и \(BE\) проходит через \(B\) и \(E\), то угол между \(BE\) и \(EF\) равен \(90^\circ\).

8. Следовательно, \(BE \perp EF\).