ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 10.42 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Через вершину B квадрата ABCD проведена прямая BM, перпендикулярная плоскости квадрата. Докажите, что линия пересечения плоскостей ABM и CDM перпендикулярна плоскости BCM.

Дано: квадрат \(ABCD\), прямая \(BM\) проходит через вершину \(B\) и перпендикулярна плоскости квадрата.

Линия пересечения плоскостей \(ABM\) и \(CDM\) обозначим как \(EF\).

Так как \(BM \perp (ABCD)\), то любая прямая, параллельная \(BM\) и лежащая в плоскости \(M\), будет также перпендикулярна плоскости квадрата.

\(EF \parallel BM\), следовательно, \(EF \perp (BCM)\), так как \(BM \perp (BCM)\).

1. Пусть дан квадрат \(ABCD\) в плоскости, точка \(M\) не лежит в этой плоскости, а прямая \(BM\) перпендикулярна плоскости квадрата.

2. Рассмотрим плоскости \(ABM\) и \(CDM\). Их линия пересечения обозначим как \(EF\).

3. Точки \(E\) и \(F\) определим как точки пересечения прямых \(AB\) и \(CD\) с плоскостью, проходящей через \(M\) и параллельной стороне квадрата.

4. Заметим, что прямая \(BM\) по условию задачи перпендикулярна плоскости \(ABCD\), то есть \(BM \perp (ABCD)\).

5. Плоскость \(BCM\) содержит прямую \(BM\) и сторону квадрата \(BC\).

6. Прямая \(EF\) лежит в плоскости, проходящей через \(M\) и параллельной сторонам квадрата, а также пересекает плоскости \(ABM\) и \(CDM\).

7. Так как \(BM \perp (ABCD)\), а \(EF\) параллельна \(BM\), то \(EF \perp (ABCD)\).

8. Плоскость \(BCM\) содержит прямую \(BM\), а значит любая прямая, параллельная \(BM\) и проходящая через \(M\), будет перпендикулярна плоскости \(BCM\).

9. Следовательно, \(EF \perp (BCM)\).

10. Таким образом, линия пересечения плоскостей \(ABM\) и \(CDM\) перпендикулярна плоскости \(BCM\), что и требовалось доказать.