ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 10.43 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Через вершину A треугольника ABC проведена прямая AD, перпендикулярная плоскости ABC. Медианы треугольника ABC пересекаются в точке E, а медианы треугольника DBC — в точке F. Докажите, что прямая EF перпендикулярна плоскости ABC.

Дано: через вершину \(A\) треугольника \(ABC\) проведена прямая \(AD\), перпендикулярная плоскости \(ABC\).

Пусть \(E\) — точка пересечения медиан треугольника \(ABC\), \(F\) — точка пересечения медиан треугольника \(DBC\).

Так как \(AD \perp (ABC)\) и \(EF \parallel AD\), то \(EF \perp (ABC)\), так как любая прямая, параллельная перпендикуляру к плоскости, также перпендикулярна этой плоскости.

1. Пусть \(E\) — точка пересечения медиан треугольника \(ABC\), а \(F\) — точка пересечения медиан треугольника \(DBC\). Известно, что медианы треугольника пересекаются в его центре масс, который делит каждую медиану в отношении \(2:1\), считая от вершины.

2. Пусть \(A(x_1, y_1, z_1)\), \(B(x_2, y_2, z_2)\), \(C(x_3, y_3, z_3)\), а \(D\) — точка, лежащая вне плоскости \(ABC\), причем \(AD \perp (ABC)\).

3. Координаты точки \(E\) определяются как \(E\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)\).

4. Координаты точки \(F\) определяются как \(F\left(\frac{x_2+x_3+x_4}{3}, \frac{y_2+y_3+y_4}{3}, \frac{z_2+z_3+z_4}{3}\right)\), где \(D(x_4, y_4, z_4)\).

5. Так как \(AD \perp (ABC)\), то вектор \(\overrightarrow{AD}\) перпендикулярен плоскости \(ABC\).

6. Вектор \(\overrightarrow{EF}\) можно выразить как разность координат точек \(F\) и \(E\): \(\overrightarrow{EF} = (F_x — E_x, F_y — E_y, F_z — E_z)\).

7. Подставляя координаты, получаем:
\(
F_x — E_x = \frac{x_2 + x_3 + x_4}{3} — \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3} = \frac{x_4 — x_1}{3}
\),
аналогично для \(y\) и \(z\).

8. Следовательно, \(\overrightarrow{EF} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AD}\).

9. Так как \(\overrightarrow{EF}\) коллинеарен \(\overrightarrow{AD}\), а \(\overrightarrow{AD} \perp (ABC)\), то и \(\overrightarrow{EF} \perp (ABC)\).

10. Значит, прямая \(EF\) перпендикулярна плоскости \(ABC\).