ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 10.45 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В тетраэдре \(DABC\) ребро \(BD\) перпендикулярно плоскости \(ABC\). Известно, что \(AB = BC = CA = BD\). Точка \(M\) — середина ребра \(BC\). Плоскость, проходящая через точку \(M\) и перпендикулярная прямой \(AD\), пересекает ребро \(AD\) в точке \(K\). Найдите отношение \(AK : KD\)

Пусть \(AB = BC = CA = BD = a\). Обозначим координаты: \(A(0,0,0)\), \(B(a,0,0)\), \(C\left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0\right)\), \(D\) лежит на перпендикуляре к плоскости \(ABC\) из \(B\), т.е. \(D(a,0,h)\).

Так как \(BD = a\), получаем \(h = a\).

Точка \(M\) — середина \(BC\):
\(M\left(\frac{a + \frac{a}{2}}{2}, \frac{0 + \frac{a\sqrt{3}}{2}}{2}, 0\right) = \left(\frac{3a}{4}, \frac{a\sqrt{3}}{4}, 0\right)\).

Вектор \(AD = (a, 0, a)\).

Плоскость, проходящая через \(M\) и перпендикулярная \(AD\), имеет уравнение:
\((x — \frac{3a}{4}) + (z — 0) = 0\) или \(x + z = \frac{3a}{4}\).

Параметрическое уравнение \(AD\):
\(A(0,0,0) + t(a,0,a)\), \(t \in [0,1]\).

Подставляем в уравнение плоскости:
\(x = ta\), \(z = ta\), \(ta + ta = \frac{3a}{4}\), \(2ta = \frac{3a}{4}\), \(t = \frac{3}{8}\).

Точка \(K\) делит \(AD\) в отношении \(AK : KD = t : (1-t) = \frac{3}{8} : \frac{5}{8} = \frac{3}{5}\).

Ответ:
\(\frac{3}{5}\)

10.45. Пусть \(AB = BC = CA = BD = a\). Введём координаты: \(A(0, 0, 0)\), \(B(a, 0, 0)\), \(C\left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0\right)\). Точка \(D\) лежит на перпендикуляре к плоскости \(ABC\) из точки \(B\), то есть \(D(a, 0, h)\).

Рассмотрим расстояние \(BD\): \(BD = \sqrt{(a-a)^2 + (0-0)^2 + (h-0)^2} = |h|\). По условию \(BD = a\), значит \(h = a\), так что \(D(a, 0, a)\).

Координаты точки \(M\) (середина \(BC\)):
\(M\left(\frac{a+\frac{a}{2}}{2}, \frac{0+\frac{a\sqrt{3}}{2}}{2}, 0\right) = \left(\frac{3a}{4}, \frac{a\sqrt{3}}{4}, 0\right)\).

Вектор \(AD = (a, 0, a)\), уравнение прямой \(AD\):
\(A + t\cdot(AD) = (0, 0, 0) + t(a, 0, a) = (ta, 0, ta)\), где \(t \in [0, 1]\).

Плоскость проходит через \(M\) и перпендикулярна \(AD\). Найдём уравнение плоскости. Вектор нормали совпадает с направлением \(AD\): \((a, 0, a)\). Уравнение плоскости:
\(a(x — x_M) + 0(y — y_M) + a(z — z_M) = 0\), где \(M\left(\frac{3a}{4}, \frac{a\sqrt{3}}{4}, 0\right)\). Получаем
\(a(x — \frac{3a}{4}) + a(z — 0) = 0\),
\(x — \frac{3a}{4} + z = 0\),
\(x + z = \frac{3a}{4}\).

Подставляем координаты точки на \(AD\): \(x = ta\), \(z = ta\), получаем
\(ta + ta = \frac{3a}{4}\),
\(2ta = \frac{3a}{4}\),
\(t = \frac{3}{8}\).

Точка \(K\) делит отрезок \(AD\) в отношении \(AK : KD = t : (1-t) = \frac{3}{8} : \frac{5}{8} = \frac{3}{5}\).

Ответ:
\(\frac{3}{5}\)