ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 10.46 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка M — середина ребра AB куба ABCDA₁B₁C₁D₁, ребро которого равно a. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку M и перпендикулярной прямой B₁D. Найдите площадь этого сечения.

Плоскость проходит через середину ребра \(AB\) и перпендикулярна диагонали \(B_1D\), поэтому сечение — правильный шестиугольник.

Сторона шестиугольника равна \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\).

Площадь правильного шестиугольника вычисляется по формуле:
\(S = \frac{3\sqrt{3}}{2} r^2\), где \(r\) — сторона.

Подставляем:
\(S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a^2 \cdot 2}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{4} a^2\)

1. Пусть куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) с ребром \(a\), точка \(M\) — середина ребра \(AB\). Введём координаты: \(A(0,0,0)\), \(B(a,0,0)\), \(C(a,a,0)\), \(D(0,a,0)\), \(A_1(0,0,a)\), \(B_1(a,0,a)\), \(C_1(a,a,a)\), \(D_1(0,a,a)\). Тогда \(M\left(\frac{a}{2},0,0\right)\).

2. Прямая \(B_1D\) соединяет точки \(B_1(a,0,a)\) и \(D(0,a,0)\). Направляющий вектор этой прямой: \((a,0,a)-(0,a,0)=(a,-a,a)\).

3. Плоскость проходит через точку \(M\) и перпендикулярна вектору \(B_1D\), то есть её нормальный вектор равен \((a,-a,a)\). Уравнение плоскости: \(a(x-\frac{a}{2})-a y+a z=0\). Упростим: \(x-y+z=\frac{a}{2}\).

4. Найдём точки пересечения этой плоскости с рёбрами куба. Подставим координаты концов рёбер и найдём те, которые лежат на плоскости:

— \(AB: x\) от \(0\) до \(a\), \(y=0\), \(z=0\): \(x-0+0=\frac{a}{2}\), \(x=\frac{a}{2}\), значит, \(M\left(\frac{a}{2},0,0\right)\).
— \(BB_1: x=a, y=0, z\) от \(0\) до \(a\): \(a-0+z=\frac{a}{2}\), \(z=-\frac{a}{2}\) не подходит, но при \(z=\frac{a}{2}\) получаем точку \(N(a,0,\frac{a}{2})\).
— \(B_1C_1: x\) от \(a\) до \(a\), \(y\) от \(0\) до \(a\), \(z=a\): \(a-y+a=\frac{a}{2}\), \(y=\frac{3a}{2}\) вне куба.
— \(C_1C: x=a, y\) от \(a\) до \(a\), \(z\) от \(a\) до \(0\): \(a-a+z=\frac{a}{2}\), \(z=\frac{a}{2}\), точка \(K(a,a,\frac{a}{2})\).
— \(CD: x\) от \(a\) до \(0\), \(y=a\), \(z=0\): \(x-a+0=\frac{a}{2}\), \(x=\frac{3a}{2}\) вне куба.
— \(DD_1: x=0, y=a, z\) от \(0\) до \(a\): \(0-a+z=\frac{a}{2}\), \(z=\frac{3a}{2}\) вне куба.
— \(D_1A_1: x\) от \(0\) до \(0\), \(y=a\) от \(a\) до \(0\), \(z=a\): \(0-y+a=\frac{a}{2}\), \(y=a-\frac{a}{2}=\frac{a}{2}\), точка \(P(0,\frac{a}{2},a)\).
— \(A_1A: x\) от \(0\) до \(0\), \(y=0\), \(z\) от \(a\) до \(0\): \(0-0+z=\frac{a}{2}\), \(z=\frac{a}{2}\), точка \(Q(0,0,\frac{a}{2})\).
— \(AD: x\) от \(0\) до \(0\), \(y\) от \(0\) до \(a\), \(z=0\): \(0-y+0=\frac{a}{2}\), \(y=-\frac{a}{2}\) вне куба.
— \(BC: x\) от \(a\) до \(a\), \(y\) от \(0\) до \(a\), \(z=0\): \(a-y+0=\frac{a}{2}\), \(y=a-\frac{a}{2}=\frac{a}{2}\), точка \(L(a,\frac{a}{2},0)\).
— \(C_1D_1: x\) от \(a\) до \(0\), \(y=a\), \(z=a\): \(x-a+a=\frac{a}{2}\), \(x=\frac{a}{2}\), точка \(S(\frac{a}{2},a,a)\).
— \(B_1C_1: x=a, y\) от \(0\) до \(a\), \(z=a\): \(a-y+a=\frac{a}{2}\), \(y=\frac{3a}{2}\) вне куба.

5. Таким образом, сечение проходит через 6 точек: \(M(\frac{a}{2},0,0)\), \(N(a,0,\frac{a}{2})\), \(K(a,a,\frac{a}{2})\), \(S(\frac{a}{2},a,a)\), \(P(0,\frac{a}{2},a)\), \(Q(0,0,\frac{a}{2})\). Это правильный шестиугольник.

6. Найдём длину стороны шестиугольника, например, между точками \(M(\frac{a}{2},0,0)\) и \(N(a,0,\frac{a}{2})\):

\(\sqrt{(a-\frac{a}{2})^2+(0-0)^2+(\frac{a}{2}-0)^2}=\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}}=\sqrt{\frac{a^2}{2}}=\)
\(=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)

7. Площадь правильного шестиугольника со стороной \(r\):

\(S=\frac{3\sqrt{3}}{2}r^2\)

8. Подставляем \(r=\frac{a\sqrt{2}}{2}\):

\(S=\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{a^2\cdot2}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{a^2}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}a^2\)