ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 10.47 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием призмы ABCA₁B₁C₁ является равнобедренный прямоугольный треугольник ABC (\(\angle ACB = 90^\circ\)), катет AC которого равен a. Грани AA₁, CC₁ и CC₁B₁B являются квадратами. Точка M — середина ребра BC. Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точку M и перпендикулярной прямой A₁B₁. Найдите площадь этого сечения.

Плоскость проходит через середину \(M\) ребра \(BC\) и перпендикулярна \(A_1B_1\). В сечении получается треугольник, у которого основание \(MN = \frac{a}{2}\), высота \(h = \frac{\sqrt{3}a}{4}\).

Площадь этого треугольника равна
\(S = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}a}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{16}\)

1. Основание призмы — равнобедренный прямоугольный треугольник \(ABC\), где угол \(ACB = 90^\circ\), \(AC = a\). Пусть \(AB = \sqrt{2}a\), поскольку катеты равны.

2. Высота призмы равна \(a\), так как боковые рёбра \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) — квадраты со стороной \(a\).

3. Точка \(M\) — середина \(BC\), значит \(BM = MC = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{2}a}{2}\).

4. Плоскость проходит через точку \(M\) и перпендикулярна ребру \(A_1B_1\). Сечение пересекает ребра \(AB\), \(AC\) и верхнее основание в точке \(C_1\).

5. Основание треугольника сечения \(MN\) равно половине катета, то есть \(MN = \frac{a}{2}\).

6. Высота треугольника сечения (расстояние от точки \(C_1\) до основания \(MN\)) равна \(h = \frac{\sqrt{3}a}{4}\).

7. Площадь треугольника равна \(S = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}a}{4}\).

8. После упрощения получаем \(S = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{16}\).