ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 10.48 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка E — середина ребра DD₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите косинус угла между прямыми AB₁ и A₁E.

Пусть длина ребра куба равна 1.
Вектор \(AB_1 = (1, 0, 1)\), вектор \(A_1E = (0, 1, -0.5)\).
Их скалярное произведение: \(1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot (-0.5) = -0.5\).
Длина \(AB_1: \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}\).
Длина \(A_1E: \sqrt{0^2 + 1^2 + (-0.5)^2} = \sqrt{1.25} = \frac{\sqrt{5}}{2}\).
Косинус угла:
\(\cos \theta = \frac{-0.5}{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{-1}{\sqrt{10}}\).
По модулю:
\(\cos \theta = \frac{\sqrt{10}}{10}\).

1. Пусть длина ребра куба равна 1. Введём координаты вершин: \(A(0,0,0)\), \(B(1,0,0)\), \(D(0,1,0)\), \(A_1(0,0,1)\), \(B_1(1,0,1)\), \(D_1(0,1,1)\).

2. Середина ребра \(DD_1\) — это точка \(E\) с координатами \( (0,1,0.5) \), так как \(E = \left(0,1,\frac{0+1}{2}\right)\).

3. Направляющий вектор прямой \(AB_1\):
\( \overrightarrow{AB_1} = B_1 — A = (1,0,1) \).

4. Направляющий вектор прямой \(A_1E\):
\( \overrightarrow{A_1E} = E — A_1 = (0,1,0.5) — (0,0,1) = (0,1,-0.5) \).

5. Найдём скалярное произведение этих векторов:
\( (1,0,1) \cdot (0,1,-0.5) = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot (-0.5) = -0.5 \).

6. Найдём длину вектора \(AB_1\):
\( \sqrt{1^{2} + 0^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2} \).

7. Найдём длину вектора \(A_1E\):
\( \sqrt{0^{2} + 1^{2} + (-0.5)^{2}} = \sqrt{1 + 0.25} = \sqrt{1.25} = \frac{\sqrt{5}}{2} \).

8. Косинус угла между прямыми равен
\( \cos \theta = \frac{-0.5}{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2}} \).

9. Преобразуем выражение:
\( \cos \theta = \frac{-0.5}{\frac{\sqrt{10}}{2}} = \frac{-0.5 \cdot 2}{\sqrt{10}} = \frac{-1}{\sqrt{10}} \).

10. По модулю:
\( \cos \theta = \frac{\sqrt{10}}{10} \).