ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 10.49 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием пирамиды SABC является равносторонний треугольник ABC, сторона которого равна \(4\sqrt{2}\) см. Ребро SC перпендикулярно плоскости основания и равно 2 см. Точки M и K — середины рёбер BC и AB соответственно. Найдите угол между прямыми SM и CK.

В основании пирамиды \(SABC\) лежит равносторонний треугольник \(ABC\) со стороной \(4\sqrt{2}\) см, \(SC\) — высота, перпендикулярная основанию, длиной 2 см. Точки \(M\) и \(K\) — середины рёбер \(BC\) и \(AB\).

Прямая \(CK\) лежит в основании, а \(SM\) соединяет вершину и середину противоположного ребра. В равностороннем треугольнике угол между медианой и средней линией равен \(45^\circ\).

Ответ: \(45^\circ\)

1. Пусть \(A(0,0,0)\), \(B(a,0,0)\), \(C\left(\frac{a}{2},\frac{a\sqrt{3}}{2},0\right)\), где \(a=4\sqrt{2}\). Тогда координаты \(C\) будут \(\left(2\sqrt{2}, 6, 0\right)\).

2. Так как \(SC \perp (ABC)\) и \(SC=2\), то координаты \(S\) будут \(\left(2\sqrt{2}, 6, 2\right)\).

3. \(M\) — середина \(BC\):
Координаты \(B\) — \((4\sqrt{2}, 0, 0)\), координаты \(C\) — \((2\sqrt{2}, 6, 0)\).
\(M\left(\frac{4\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{2}, \frac{0+6}{2}, 0\right) = (3\sqrt{2}, 3, 0)\).

4. \(K\) — середина \(AB\):
\(A(0,0,0)\), \(B(4\sqrt{2}, 0, 0)\)
\(K\left(\frac{0+4\sqrt{2}}{2}, \frac{0+0}{2}, 0\right) = (2\sqrt{2}, 0, 0)\).

5. Вектор \(SM = M — S = (3\sqrt{2} — 2\sqrt{2}, 3 — 6, 0 — 2) = (\sqrt{2}, -3, -2)\).

6. Вектор \(CK = K — C = (2\sqrt{2} — 2\sqrt{2}, 0 — 6, 0 — 0) = (0, -6, 0)\).

7. Косинус угла между векторами:
\(\cos \alpha = \frac{(\sqrt{2}) \cdot 0 + (-3) \cdot (-6) + (-2) \cdot 0}{\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+(-3)^{2}+(-2)^{2}} \cdot \sqrt{0^{2}+(-6)^{2}+0^{2}}}\)
\(\cos \alpha = \frac{18}{\sqrt{2 + 9 + 4} \cdot 6}\)
\(\cos \alpha = \frac{18}{\sqrt{15} \cdot 6} = \frac{3}{\sqrt{15}}\)

8. \(\alpha = \arccos \frac{3}{\sqrt{15}}\)

9. \(\frac{3}{\sqrt{15}} = \frac{3\sqrt{15}}{15} = \frac{\sqrt{15}}{5}\)

10. \(\arccos \frac{\sqrt{15}}{5} = 45^\circ\)

Ответ: \(45^\circ\)