ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 10.5 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 10.21). Укажите прямые, которые перпендикулярны плоскости грани: 1) AA₁, B₁B; 2) A₁B₁C₁D₁.

В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\):

1) Прямые, перпендикулярные плоскости грани \(AA_1\) и \(B_1B\), находятся как прямые, соединяющие вершины, лежащие на противоположных гранях, то есть \(AD_1\), \(BC_1\), \(A_1D_1\), \(B_1C_1\).

2) Прямые, перпендикулярные плоскости грани \(A_1B_1C_1D_1\), — это высоты, опущенные из вершин нижней грани на соответствующие вершины верхней грани: \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\), \(DD_1\).

1) Рассмотрим плоскости грани куба. Пусть требуется найти прямые, перпендикулярные плоскости, например, грани \(AA_1\) и \(B_1B\). В кубе такие прямые проходят через вершины, соединяя противоположные точки на разных гранях. Например, прямая \(AD_1\) соединяет вершину \(A\) нижней грани и вершину \(D_1\) верхней грани, и она перпендикулярна плоскости боковой грани. Аналогично, \(BC_1\) соединяет \(B\) и \(C_1\), \(A_1D_1\) соединяет \(A_1\) и \(D_1\), а \(B_1C_1\) соединяет \(B_1\) и \(C_1\). Все эти прямые перпендикулярны соответствующим граням куба.

2) Рассмотрим плоскость верхней грани куба \(A_1B_1C_1D_1\). Прямые, перпендикулярные этой плоскости, опускаются из вершин нижней грани на соответствующие вершины верхней грани. Это прямые \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\), \(DD_1\), соединяющие вершины \(A\) с \(A_1\), \(B\) с \(B_1\), \(C\) с \(C_1\), \(D\) с \(D_1\). Эти прямые являются высотами, перпендикулярными плоскости верхней грани.