ГДЗ Мерзляк 10 Класс по Геометрии Углубленный Уровень Номировский Учебник 📕 Полонский — Все Части

Геометрия Углубленный Уровень

10 класс Углубленный Уровень Учебник Мерзляк

10 класс

Тип

Гдз, Решебник.

Автор

Мерзляк А.Г., Номировский Д.А., Полонский В.Б.

Год

2019

Издательство

Вентана-Граф

Описание

Учебник «Геометрия. 10 класс. Углубленный уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.В. Номировского и В.Б. Полонского предназначен для школьников, стремящихся к глубокому освоению геометрии и подготовке к профильным экзаменам. Издание полностью соответствует современным образовательным стандартам и охватывает расширенный курс геометрии для 10 класса, позволяя развивать аналитические и пространственные навыки на высоком уровне.

ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 10.50 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Задача

Ребро DC тетраэдра DABC равно 2 см и перпендикулярно плоскости ABC. Грань ABC является равнобедренным прямоугольным треугольником, катеты AC и BC которого равны 4 см. Точки M и N — середины рёбер AC и AB соответственно. Найдите угол между прямыми DM и CN.

Краткий ответ:

Задаём координаты: \(A(0, 0, 0)\), \(B(0, 4, 0)\), \(C(4, 0, 0)\), \(D(4, 0, 2)\). Точки \(M(2, 0, 0)\) — середина \(AC\), \(N(0, 2, 0)\) — середина \(AB\).

Векторы: \(DM = (-2, 0, -2)\), \(CN = (-4, 2, 0)\).

Скалярное произведение: \((-2) \cdot (-4) + 0 \cdot 2 + (-2) \cdot 0 = 8\). Длины: \(|DM| = 2\sqrt{2}\), \(|CN| = 2\sqrt{5}\).

\(\cos \theta = \frac{8}{2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{10}}\), угол \(\theta = 60^{\circ}\).

Подробный ответ:

1. Пусть \(A(0,0,0)\), \(B(0,4,0)\), \(C(4,0,0)\) — так как треугольник \(ABC\) прямоугольный и равнобедренный, катеты по 4. Точка \(D(4,0,2)\) — на перпендикуляре из \(C\) к плоскости \(ABC\), так как \(CD = 2\).

2. Найдём координаты середин: \(M(2,0,0)\) — середина \(AC\), \(N(0,2,0)\) — середина \(AB\).

3. Вектор \(DM = M — D = (2-4, 0-0, 0-2) = (-2, 0, -2)\).

4. Вектор \(CN = N — C = (0-4, 2-0, 0-0) = (-4, 2, 0)\).

5. Найдём скалярное произведение: \((-2) \cdot (-4) + 0 \cdot 2 + (-2) \cdot 0 = 8\).

6. Длина \(DM: \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\).

7. Длина \(CN: \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\).

8. \(\cos \theta = \frac{8}{2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{8}{4\sqrt{10}} = \frac{2}{\sqrt{10}}\).

9. \(\theta = \arccos\left(\frac{2}{\sqrt{10}}\right) = 60^{\circ}\).

10. Ответ: угол между прямыми \(DM\) и \(CN\) равен \(60^{\circ}\).

Оцени решение