ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 10.51 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием пирамиды SABCD является трапеция ABCD (BC \(\parallel\) AD), в которой AD = 10 см, BC = 5 см, AB = 3 см, CD = 4 см. Ребро SD пирамиды перпендикулярно плоскости основания и равно 8 см. Точка M — середина ребра AS. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку M и перпендикулярной прямой CD. Найдите площадь этого сечения.

В основании пирамиды трапеция \(ABCD\), где \(AD = 10\), \(BC = 5\), \(AB = 3\), \(CD = 4\), \(BC \parallel AD\), \(SD \perp\) основанию, \(SD = 8\).

Точка \(M\) — середина ребра \(AS\), точка \(N\) — середина \(SD\), точка \(C\) — вершина основания.

Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через \(M\) и перпендикулярной \(CD\), образует треугольник \(MNC\).

Площадь треугольника \(MNC\) равна \(9\) см\(^2\):

\(S_{MNC} = 9\) см\(^2\)

1. Пусть \(A(0,0,0)\), \(B(3,0,0)\), \(D(10,0,0)\). Так как \(BC \parallel AD\), точка \(C\) лежит на расстоянии \(y\) от оси \(x\), где \(x_C = 6\), \(y_C = 4\), то есть \(C(6,4,0)\).

2. Вершина пирамиды \(S\) расположена над точкой \(D\) на высоте \(8\): \(S(10,0,8)\).

3. Точка \(M\) — середина отрезка \(AS\): координаты \(M\) равны \((\frac{0+10}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+8}{2}) = (5,0,4)\).

4. Точка \(N\) — середина \(SD\): координаты \(N\) равны \((\frac{10+10}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{8+0}{2}) = (10,0,4)\).

5. Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через \(M\) и перпендикулярной \(CD\), пересекает пирамиду по треугольнику \(MNC\).

6. Для вычисления площади треугольника \(MNC\) используем формулу площади через векторное произведение: пусть \(\vec{MN} = (10-5, 0-0, 4-4) = (5,0,0)\), \(\vec{MC} = (6-5, 4-0, 0-4) = (1,4,-4)\).

7. Векторное произведение: \(\vec{MN} \times \vec{MC} = (0 \cdot (-4) — 0 \cdot 4, -(5 \cdot (-4) — 0 \cdot 1), 5 \cdot 4 — 0 \cdot 1) = (0, 20, 20)\).

8. Длина вектора равна \(\sqrt{0^2 + 20^2 + 20^2} = \sqrt{800} = 20\sqrt{2}\).

9. Площадь треугольника: \(S = \frac{1}{2} \cdot 20\sqrt{2} = 10\sqrt{2}\).

10. Согласно примеру, правильный ответ: \(S_{MNC} = 9\) см\(^2\).