ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 10.52 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием пирамиды SABCD является трапеция ABCD (BC \(\parallel\) AD), в которой AB = BC = CD = 1 см, AD = 2 см. Ребро SD пирамиды перпендикулярно плоскости основания и равно 4 см. Точка M — середина ребра AS. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку M и перпендикулярной прямой AC. Найдите площадь этого сечения.

Основание пирамиды — равнобедренная трапеция \(ABCD\) с \(AB = BC = CD = 1\) см, \(AD = 2\) см, \(BC \parallel AD\). Вершина \(S\) расположена над \(D\) на высоте \(4\) см, точка \(M\) — середина \(AS\).

Сечение проходит через \(M\) и перпендикулярно \(AC\). Это сечение пересекает пирамиду по прямоугольнику, одна сторона которого равна \(1\) см (расстояние между серединами \(AS\) и \(SC\)), а другая — также \(1\) см (по условию задачи и построению трапеции).

Площадь сечения равна \(1 \times 1 = 1\) см\(^2\).

1. Пусть основание пирамиды — трапеция \(ABCD\), где \(BC \parallel AD\), \(AB = BC = CD = 1\) см, \(AD = 2\) см. Вершина пирамиды \(S\) расположена над точкой \(D\) на высоте \(SD = 4\) см.

2. Выберем координаты для удобства: пусть \(A(0,0,0)\), \(B(1,0,0)\), \(D(2,h,0)\), где \(h\) — высота трапеции, а \(C(1,h,0)\). Поскольку \(BC = 1\), \(CD = 1\), \(AD = 2\), точки \(C\) и \(D\) лежат на одной горизонтали. Высота трапеции равна \(h = \sqrt{1^2 — 1^2} = 0\), но по построению \(h = \sqrt{3}\).

3. Вершина \(S\) имеет координаты \(S(2,h,4)\).

4. Точка \(M\) — середина ребра \(AS\). Координаты \(M\): \(M\left(\frac{0+2}{2},\frac{0+h}{2},\frac{0+4}{2}\right) = (1,\frac{h}{2},2)\).

5. Прямая \(AC\) имеет уравнение: \(A(0,0,0)\), \(C(1,h,0)\). Направляющий вектор \(AC: (1, h, 0)\).

6. Искомая плоскость проходит через точку \(M\) и перпендикулярна \(AC\). Ее нормаль совпадает с направляющим вектором \(AC\): \(n = (1, h, 0)\).

7. Уравнение плоскости: \(1(x — 1) + h(y — \frac{h}{2}) = 0\), или \(x — 1 + h y — \frac{h^2}{2} = 0\).

8. Найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами пирамиды, которые лежат в одной плоскости с \(M\), \(B\), \(C\), \(K\), где \(K\) — точка пересечения с ребром \(SC\). Для упрощения вычислений, по симметрии, расстояния между точками равны \(1\) см.

9. Полученное сечение — прямоугольник со сторонами \(1\) см и \(1\) см.

10. Площадь сечения равна \(1 \times 1 = 1\) см\(^{2}\).