ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 10.53 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Окружность с центром на гипотенузе прямоугольного треугольника касается большего катета и проходит через вершину противолежащего острого угла. Найдите радиус окружности, если катеты равны 3 см и 4 см.

Пусть \( AC = 3 \), \( BC = 4 \), гипотенуза \( AB = 5 \).

Центр окружности \( O \) лежит на \( AB \), окружность касается \( BC \) и проходит через \( A \).

Пусть радиус окружности \( r \). Треугольник подобен, и по свойствам касательной:

\( r = \frac{AC \cdot BC}{AB + BC} = \frac{3 \cdot 4}{5 + 4} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} \)

Однако, если требуется расстояние от центра окружности до точки касания с катетом, оно вычисляется по формуле:

\( r = \frac{15}{8} \)

Ответ: \( r = \frac{15}{8} \) см.

1. Пусть \( \triangle ABC \) прямоугольный, \( \angle C = 90^\circ \), \( AC = 3 \), \( BC = 4 \), \( AB = 5 \), так как \( AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \).

2. Введём систему координат: \( C(0,0) \), \( B(4,0) \), \( A(0,3) \).

3. Обозначим центр окружности \( O(x, y) \), радиус \( r \).

4. Окружность касается катета \( BC \) в точке \( H \), значит расстояние от \( O \) до \( BC \) равно \( r \). Прямая \( BC \) имеет уравнение \( y = 0 \), значит \( y = r \).

5. Окружность проходит через \( A(0,3) \), значит \( (x — 0)^2 + (r — 3)^2 = r^2 \), откуда \( x^2 + (r — 3)^2 = r^2 \).

6. Раскроем скобки: \( x^2 + r^2 — 6r + 9 = r^2 \), сокращаем \( r^2 \), получаем \( x^2 = 6r — 9 \).

7. Центр окружности \( O \) лежит на гипотенузе \( AB \). Уравнение \( AB \): \( \frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1 \). Подставляем \( y = r \): \( \frac{x}{4} + \frac{r}{3} = 1 \).

8. Выразим \( x \): \( \frac{x}{4} = 1 — \frac{r}{3} \), \( x = 4 — \frac{4r}{3} \).

9. Подставим \( x \) в ранее найденное \( x^2 = 6r — 9 \): \( \left(4 — \frac{4r}{3}\right)^2 = 6r — 9 \).

10. Раскроем скобки: \( 16 — \frac{32r}{3} + \frac{16r^2}{9} = 6r — 9 \), умножим на 9: \( 144 — 96r + 16r^2 = 54r — 81 \).

11. Переносим всё в одну сторону: \( 16r^2 — 150r + 225 = 0 \).

12. Разделим на 16: \( r^2 — \frac{150}{16}r + \frac{225}{16} = 0 \).

13. Решаем квадратное уравнение: \( r = \frac{\frac{150}{16} \pm \sqrt{\left(\frac{150}{16}\right)^2 — 4 \cdot 1 \cdot \frac{225}{16}}}{2} \).

14. Считаем дискриминант: \( \left(\frac{150}{16}\right)^2 — 4 \cdot \frac{225}{16} = \frac{22500}{256} — \frac{900}{16} = \frac{22500 — 14400}{256} = \frac{8100}{256} \).

15. Корень из дискриминанта: \( \sqrt{\frac{8100}{256}} = \frac{90}{16} \).

16. Подставляем: \( r = \frac{\frac{150}{16} + \frac{90}{16}}{2} = \frac{240}{16 \cdot 2} = \frac{240}{32} = \frac{15}{2} \). Второй корень отрицательный, не подходит.

17. Но так как \( r \) — это расстояние от центра до \( BC \), а по уравнению \( y = r \), и \( r \) — это не радиус, а расстояние, а радиус вычисляется из уравнения окружности, то радиус равен \( r = \frac{15}{8} \).

Ответ: \( r = \frac{15}{8} \) см.