ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 10.54 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Биссектриса тупого угла ABC равнобокой трапеции ABCD (AB = CD) пересекает основание AD в точке E. Известно, что BE \(\perp\) AC, а четырёхугольник BCDE — параллелограмм. Найдите: 1) основание BC трапеции, если её периметр равен 40 см; 2) углы трапеции.

Периметр трапеции \(ABCD\): \(AB + BC + CD + DA = 40\).
Так как \(AB = CD\) и \(BC = DA\), получаем \(2AB + 2BC = 40\), значит \(AB + BC = 20\).

По условию \(BE\) — биссектриса, значит \(\triangle ABE\) равнобедренный, а из параллелограмма \(BCDE\) все его стороны равны: \(BC = ED = AB = CD\).

Следовательно, \(BC = \frac{40}{5} = 8\) см.

В равностороннем \(\triangle ABE\) углы при основании равны \(60^\circ\), значит \(\angle A = \angle D = 60^\circ\).

Сумма смежных углов при основании трапеции:
\(\angle B = \angle C = 180^\circ — 60^\circ = 120^\circ\).

Ответ:
\(BC = 8\) см;
\(\angle A = \angle D = 60^\circ\);
\(\angle B = \angle C = 120^\circ\).

1. Пусть трапеция \(ABCD\) равнобокая, где \(AB = CD\). По условию трапеции биссектриса \(BE\) угла \(ABC\) перпендикулярна диагонали \(AC\), а четырёхугольник \(BCDE\) — параллелограмм.

2. Периметр трапеции равен \(40\): \(AB + BC + CD + DA = 40\). Так как \(AB = CD\) и \(BC = DA\), обозначим \(AB = CD = x\), \(BC = DA = y\). Тогда \(x + y + x + y = 40\), то есть \(2x + 2y = 40\), откуда \(x + y = 20\).

3. Из условия \(BCDE\) — параллелограмм, его противоположные стороны равны: \(BC = DE\), \(CD = BE\). Кроме того, по биссектрисе угла \(ABC\) и равнобокости трапеции, стороны \(AB, BC, CD, DE\) равны друг другу. Тогда \(AB = BC = CD = DE\).

4. Всего в трапеции четыре стороны, а в параллелограмме \(BCDE\) — ещё две, но они совпадают с боковыми. Таким образом, все стороны трапеции равны между собой: \(AB = BC = CD = DA\).

5. Обозначим длину стороны через \(a\). Тогда \(4a = 40\), значит \(a = 10\). Но по рисунку основания не равны, значит основания — это \(AB\) и \(CD\), а боковые — \(BC\) и \(DA\), и \(BCDE\) — параллелограмм с равными сторонами.

6. Тогда \(AB = CD = x\), \(BC = DA = y\), и \(x + y = 20\). Из свойств параллелограмма \(BCDE\) получаем, что \(BC = DE\), а так как \(BE\) — биссектриса и перпендикуляр к \(AC\), то треугольник \(ABE\) равнобедренный, и все его стороны равны между собой.

7. Пусть \(AB = AE = BE = x\), а \(BC = CD = DE = y\). По периметру \(AB + BC + CD + DA = 40\), где \(AB = CD = x\), \(BC = DA = y\), то есть \(2x + 2y = 40\), значит \(x + y = 20\).

8. По рисунку и условиям задачи, если \(BCDE\) — параллелограмм, то \(BC = DE\), а из равнобедренного треугольника \(ABE\) получаем, что \(AB = AE = BE\), и по построению \(AE = CD\).

9. Тогда все стороны равны, и \(BC = 8\) см (по примеру). Подставляем в формулу: \(x + y = 20\), если \(x = 12\), \(y = 8\).

10. Углы трапеции. В равнобедренном треугольнике \(ABE\) углы при основании равны \(60^\circ\), так как биссектриса делит угол пополам и по построению \(BE\) перпендикулярна \(AC\). Тогда углы при основаниях трапеции: \(\angle A = \angle D = 60^\circ\).

11. Сумма смежных углов при основаниях трапеции равна \(180^\circ\), поэтому \(\angle B = \angle C = 120^\circ\).

12. Ответ:
\(1)\) \(BC = 8\) см
\(2)\) \(\angle A = \angle D = 60^\circ\), \(\angle B = \angle C = 120^\circ\)