ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 10.6 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Верно ли утверждение, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна:

1) стороне и медиане треугольника, лежащего в этой плоскости;

2) стороне и средней линии треугольника, лежащего в этой плоскости;

3) двум сторонам трапеции, лежащей в этой плоскости;

4) двум диаметрам окружности, лежащей в этой плоскости;

5) двум диагоналям правильного шестиугольника, лежащего в этой плоскости?

1) Если прямая перпендикулярна стороне и медиане треугольника, лежащего в плоскости, то она перпендикулярна двум неколлинеарным направлениям, значит, перпендикулярна всей плоскости. Ответ: да.

2) Если прямая перпендикулярна стороне и средней линии треугольника, лежащего в плоскости, то она также перпендикулярна двум неколлинеарным направлениям, значит, перпендикулярна всей плоскости. Ответ: да.

3) Если прямая перпендикулярна двум сторонам трапеции, лежащей в плоскости, а эти стороны не параллельны, то они задают плоскость, и прямая перпендикулярна этой плоскости. Ответ: да.

4) Если прямая перпендикулярна двум диаметрам окружности, лежащим в плоскости, а диаметры не совпадают, то они задают плоскость, и прямая перпендикулярна этой плоскости. Ответ: да.

5) Если прямая перпендикулярна двум диагоналям правильного шестиугольника, лежащего в плоскости, то диагонали неколлинеарны, значит, прямая перпендикулярна плоскости. Ответ: да.

1) Пусть в плоскости лежит треугольник, в котором выбраны сторона и медиана. Если прямая перпендикулярна стороне, это значит, что она перпендикулярна одному направлению в плоскости. Если эта же прямая перпендикулярна медиане, которая не совпадает с выбранной стороной и не параллельна ей, то прямая перпендикулярна двум неколлинеарным векторам этой плоскости. По определению, если прямая перпендикулярна двум неколлинеарным векторам плоскости, то она перпендикулярна всей плоскости. Да.

2) Средняя линия треугольника не совпадает ни с одной из сторон и не параллельна выбранной стороне. Если прямая перпендикулярна стороне и средней линии, то она перпендикулярна двум неколлинеарным векторам плоскости. Значит, прямая перпендикулярна всей плоскости. Да.

3) В трапеции две стороны не параллельны (если рассматривать боковые стороны). Если прямая перпендикулярна этим двум сторонам, то она перпендикулярна двум неколлинеарным векторам, а следовательно, перпендикулярна всей плоскости. Да.

4) Диаметры окружности, лежащие в одной плоскости, не совпадают и не параллельны, если выбраны разные диаметры. Если прямая перпендикулярна двум таким диаметрам, она перпендикулярна двум неколлинеарным векторам, а значит, всей плоскости. Да.

5) Диагонали правильного шестиугольника, лежащие в плоскости, не совпадают и не параллельны друг другу, если выбраны разные диагонали. Если прямая перпендикулярна двум диагоналям, то она перпендикулярна двум неколлинеарным векторам, а значит, всей плоскости. Да.