ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 10.8 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Через центр O правильного треугольника ABC проведена прямая DO, перпендикулярная плоскости ABC (рис. 10.22). Найдите отрезок DO, если AB = 6 см, DA = 4 см.

В правильном треугольнике \(AB = 6\), высота \(AH = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\). Центр \(O\) делит высоту в отношении \(2:1\), значит \(AO = 2\sqrt{3}\).

В треугольнике \(DAO\) по теореме Пифагора: \(DO^2 = DA^2 — AO^2 = 16 — 12 = 4\), значит \(DO = 2\) см.

1. Пусть \(AB = 6\) — сторона правильного треугольника \(ABC\). Высота этого треугольника равна \(AH = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\).

2. Центр треугольника \(O\) делит высоту в отношении \(2:1\) от вершины, поэтому \(AO = \frac{2}{3} \cdot 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}\).

3. По условию \(DA = 4\), \(DO \perp ABC\), то есть \(DO\) перпендикулярен плоскости треугольника и образует прямоугольный треугольник \(DAO\) с катетами \(DO\) и \(AO\), гипотенузой \(DA\).

4. Применяем теорему Пифагора: \(DA^{2} = DO^{2} + AO^{2}\). Подставляем значения: \(4^{2} = DO^{2} + (2\sqrt{3})^{2}\).

5. Получаем: \(16 = DO^{2} + 4 \cdot 3\).

6. Раскрываем скобки: \(16 = DO^{2} + 12\).

7. Выражаем \(DO^{2}\): \(DO^{2} = 16 — 12 = 4\).

8. Извлекаем корень: \(DO = 2\).

9. Ответ: \(DO = 2\) см.