ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 11.11 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Расстояние между скрещивающимися прямыми, принадлежащими соответственно параллельным плоскостям α и β, равно 10 см. Чему равно расстояние между плоскостями α и β?

Расстояние между скрещивающимися прямыми, принадлежащими соответственно параллельным плоскостям \(\alpha\) и \(\beta\), по определению совпадает с расстоянием между этими плоскостями.

По условию: расстояние между прямыми равно \(10\,\text{см}\).

Следовательно, расстояние между плоскостями \(\alpha\) и \(\beta\) равно \(10\,\text{см}\).

Рассмотрим две параллельные плоскости \(\alpha\) и \(\beta\). Параллельность означает, что для каждой точки одной плоскости можно провести прямую, перпендикулярную к обеим плоскостям, которая пересекает обе плоскости. Расстояние между плоскостями определяется как длина отрезка, проведённого по такой общей перпендикулярной прямой от одной плоскости до другой. Пусть в плоскости \(\alpha\) лежит прямая \(a\), а в плоскости \(\beta\) — прямая \(b\), причём эти прямые скрещиваются, то есть не лежат ни в одной плоскости и не пересекаются.

По определению, если прямые \(a\) и \(b\) лежат соответственно в параллельных плоскостях \(\alpha\) и \(\beta\), то расстояние между этими прямыми равно расстоянию между плоскостями. На практике это доказывается следующим образом: выбираем точку \(A\) на прямой \(a\) и точку \(B\) на прямой \(b\), соединяем их отрезком \(AB\). Если этот отрезок перпендикулярен обеим плоскостям, то его длина и будет искомым расстоянием. Так как плоскости параллельны, все такие перпендикуляры между ними будут иметь одинаковую длину, независимо от выбора точек \(A\) и \(B\) на соответствующих прямых.

В задаче дано, что расстояние между прямыми \(a\) и \(b\), лежащими в параллельных плоскостях \(\alpha\) и \(\beta\), равно \(10\,\text{см}\). Следовательно, согласно определению, расстояние между плоскостями \(\alpha\) и \(\beta\) также равно \(10\,\text{см}\). Таким образом, если обозначить это расстояние как \(d\), то \(d = 10\,\text{см}\).