ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 11.12 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Расстояние между параллельными прямыми, принадлежащими соответственно параллельным плоскостям α и β, равно 7 см. Верно ли утверждение, что расстояние между плоскостями α и β равно 7 см?

Если прямые параллельны и принадлежат параллельным плоскостям, то расстояние между этими прямыми равно расстоянию между плоскостями.

Расстояние между плоскостями \(\alpha\) и \(\beta\) равно 7 см.

Рассмотрим две параллельные плоскости \(\alpha\) и \(\beta\), а также две параллельные прямые, каждая из которых принадлежит своей плоскости: одна прямая лежит в плоскости \(\alpha\), другая — в плоскости \(\beta\). По условию задачи, расстояние между этими прямыми равно 7 см. В пространстве расстояние между параллельными прямыми определяется как длина общего перпендикуляра, соединяющего эти прямые. Если прямые принадлежат параллельным плоскостям и сами параллельны, то их общий перпендикуляр совпадает с расстоянием между плоскостями.

Расстояние между параллельными плоскостями \(\alpha\) и \(\beta\) определяется как расстояние от любой точки одной плоскости до другой плоскости, измеренное по перпендикуляру. Если взять любую точку на прямой, лежащей в плоскости \(\alpha\), и опустить из неё перпендикуляр на плоскость \(\beta\), то этот перпендикуляр пересечёт вторую прямую, лежащую в \(\beta\), в некоторой точке. Длина этого перпендикуляра и будет искомым расстоянием между плоскостями. Так как эта точка может быть выбрана произвольно на прямой \(\alpha\), а обе прямые параллельны и принадлежат своим плоскостям, расстояние между ними будет всегда одинаковым и совпадёт с расстоянием между плоскостями.

Таким образом, если расстояние между параллельными прямыми, принадлежащими параллельным плоскостям \(\alpha\) и \(\beta\), равно 7 см, то расстояние между самими плоскостями также равно 7 см. Это связано с тем, что все точки одной прямой находятся на одинаковом расстоянии от второй прямой, а значит, и от второй плоскости, поскольку прямые и плоскости параллельны друг другу. Следовательно, утверждение, что расстояние между плоскостями \(\alpha\) и \(\beta\) равно 7 см, является верным.