ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 11.13 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На рисунке 11.20 изображён куб ABCDA₁B₁C₁D₁, ребро которого равно 2 см. Найдите расстояние между прямыми AB и DD₁.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ прямые AB и DD₁ скрещивающиеся.

Расстояние между ними равно длине ребра куба:

\(\rho(AB, DD_1) = 2\,\text{см}\)

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ прямые AB и DD₁ являются скрещивающимися, то есть они не лежат в одной плоскости и не пересекаются. Прямая AB проходит по ребру основания куба, а прямая DD₁ соединяет вершину D основания с вершиной D₁ верхнего основания, то есть является вертикальным ребром. Чтобы найти расстояние между этими скрещивающимися прямыми, необходимо определить кратчайшее расстояние между точками на этих прямых.

Рассмотрим координаты точек куба, если вершина A имеет координаты (0, 0, 0), тогда B имеет координаты (2, 0, 0), D — (0, 2, 0), а D₁ — (0, 2, 2). Прямая AB лежит на оси x, а прямая DD₁ — на оси z, параллельно оси z. Кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми AB и DD₁ равно расстоянию между точкой B (2, 0, 0) и точкой D₁ (0, 2, 2). Это расстояние можно найти по формуле длины отрезка между двумя точками в пространстве: \( d = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2 + (z_2 — z_1)^2} \).

Подставим координаты: \( d = \sqrt{(2 — 0)^2 + (0 — 2)^2 + (0 — 2)^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \). Однако, в условиях задачи требуется расстояние между скрещивающимися прямыми, которое совпадает с длиной ребра куба, поскольку минимальное расстояние между AB и DD₁ достигается по прямой, перпендикулярной обеим этим прямым, и оно равно длине ребра куба, то есть \( 2\,\text{см} \).

Ответ: расстояние между прямыми AB и DD₁ в кубе со стороной 2 см равно \( 2\,\text{см} \).