ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 11.15 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Из точки M провели к плоскости α равные наклонные MA, MB, MC и MD. Могут ли точки A, B, C и D быть вершинами:

1) прямоугольника;

2) ромба;

3) прямоугольной трапеции;

4) равнобокой трапеции?

1) Да. Если из точки M проведены к плоскости α равные наклонные MA, MB, MC и MD, то их проекции на плоскость будут вершинами прямоугольника, так как расстояния от точки M до каждой из вершин одинаковы, и углы между проекциями могут быть прямыми.

2) Да. При равных наклонных MA, MB, MC и MD их проекции на плоскость могут быть вершинами ромба, так как все стороны будут равны по длине за счет равенства наклонных.

3) Нет. Для прямоугольной трапеции требуется наличие только одной пары параллельных сторон, а при равных наклонных все проекции либо равны (ромб, прямоугольник), либо не могут образовать прямоугольную трапецию.

4) Да. Проекции равных наклонных могут быть вершинами равнобокой трапеции, если две стороны равны и основания параллельны, что возможно при определённом расположении точек.

1) Да. Пусть точка M находится вне плоскости α, а точки A, B, C, D лежат на этой плоскости. Если MA = MB = MC = MD, то проекции этих наклонных на плоскость будут равноудалены от точки пересечения высоты, опущенной из M на α. Это означает, что точки A, B, C, D лежат на окружности с центром в точке основания перпендикуляра из M на α и радиусом, равным длине проекции наклонной. Если при этом углы между проекциями равны 90°, то фигура является прямоугольником, так как все стороны прямоугольника равны по длине проекции и углы между ними прямые. Таким образом, условия задачи позволяют построить прямоугольник с вершинами в точках A, B, C, D.

2) Да. Аналогично, если MA = MB = MC = MD, то проекции этих наклонных на плоскость α будут равноудалены от центра окружности, как и в случае с прямоугольником. Для ромба требуется, чтобы все стороны были равны, но углы могли быть произвольными, не обязательно прямыми. Поэтому, если выбрать такие точки на окружности, чтобы расстояния между соседними точками были равны, а углы между сторонами не обязательно равны 90°, получится ромб. Формально, если длина стороны ромба равна длине проекции наклонной, то можно разместить точки A, B, C, D на окружности так, чтобы они образовали ромб.

3) Нет. Прямоугольная трапеция требует, чтобы только одна пара противоположных сторон была параллельна, а другая — нет. Однако при равных наклонных MA, MB, MC, MD их проекции на плоскость α либо образуют фигуру с равными сторонами (ромб или прямоугольник), либо равнобокую трапецию при определённом расположении точек. В случае прямоугольной трапеции невозможно получить только одну пару параллельных сторон, если все наклонные равны и их проекции равноудалены от центра. Следовательно, фигура с такими свойствами не может быть прямоугольной трапецией, то есть ответ — нет.

4) Да. Равнобокая трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны, а основания параллельны. Если из точки M проведены равные наклонные MA, MB, MC, MD к плоскости α, то их проекции могут быть расположены так, что две противоположные стороны будут параллельны (основания), а две другие — равны (боковые стороны). Это возможно, если точки A, B, C, D выбраны на окружности симметрично относительно оси, проходящей через центр окружности, что обеспечивает равенство боковых сторон. Таким образом, при соответствующем расположении точек условия задачи допускают построение равнобокой трапеции.