ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 11.18 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Из точки A к плоскости α проведены наклонные AB и AC длиной 25 см и 17 см соответственно. Найдите расстояние от точки A до плоскости α, если проекции данных наклонных на эту плоскость относятся как 5 : 2.

Пусть \(BH = 5x\), \(CH = 2x\), тогда по теореме Пифагора:
\(AB^2 = AH^2 + BH^2 \rightarrow 625 = AH^2 + 25x^2\)
\(AC^2 = AH^2 + CH^2 \rightarrow 289 = AH^2 + 4x^2\)

Вычтем второе из первого:
\(625 — 289 = (AH^2 + 25x^2) — (AH^2 + 4x^2)\)
\(336 = 21x^2\), отсюда \(x^2 = \frac{336}{21} = 16\), значит \(x = 4\)

Подставляем \(x\) в первое уравнение:
\(AH^2 = 625 — 25 \cdot 16 = 625 — 400 = 225\),
\(AH = \sqrt{225} = 15\) см

1. Пусть точка \(H\) — основание перпендикуляра, опущенного из точки \(A\) на плоскость \(\alpha\). Тогда \(AH\) — искомое расстояние от точки \(A\) до плоскости \(\alpha\).

2. Пусть \(BH\) и \(CH\) — проекции наклонных \(AB\) и \(AC\) на плоскость \(\alpha\). По условию, их длины относятся как \(5:2\), то есть \(BH = 5x\), \(CH = 2x\).

3. По теореме Пифагора для треугольников \(ABH\) и \(ACH\):
\(AB^{2} = AH^{2} + BH^{2}\),
\(AC^{2} = AH^{2} + CH^{2}\).

4. Подставляем известные значения:
\(AB = 25\), \(AC = 17\),
получаем:
\(25^{2} = AH^{2} + (5x)^{2}\),
\(17^{2} = AH^{2} + (2x)^{2}\).

5. Преобразуем уравнения:
\(625 = AH^{2} + 25x^{2}\),
\(289 = AH^{2} + 4x^{2}\).

6. Вычтем второе уравнение из первого:
\(625 — 289 = (AH^{2} + 25x^{2}) — (AH^{2} + 4x^{2})\),
\(336 = 21x^{2}\).

7. Найдём \(x^{2}\):
\(x^{2} = \frac{336}{21} = 16\),
\(x = 4\).

8. Подставим найденное значение \(x\) в первое уравнение:
\(625 = AH^{2} + 25 \cdot 16\),
\(625 = AH^{2} + 400\).

9. Выразим \(AH^{2}\):
\(AH^{2} = 625 — 400 = 225\).

10. Найдём \(AH\):
\(AH = \sqrt{225} = 15\) см.