ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 11.2 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На рисунке 11.17 изображён прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Укажите проекцию отрезка DB₁ на плоскость:

1) A₁B₁C₁;

2) CDD₁;

3) AA₁D₁.

1) Проекция отрезка \(DB_1\) на плоскость \(A_1B_1C_1\) — это отрезок \(B_1C_1\), так как \(D\) и \(B_1\) проецируются соответственно в \(C_1\) и \(B_1\) на эту плоскость.

2) Проекция отрезка \(DB_1\) на плоскость \(CDD_1\) — это отрезок \(DC\), так как \(B_1\) проецируется в \(D_1\), а \(D\) остается в \(D\) на этой плоскости.

3) Проекция отрезка \(DB_1\) на плоскость \(AA_1D_1\) — это отрезок \(AD\), так как \(D\) и \(B_1\) проецируются соответственно в \(A\) и \(D\) на эту плоскость.

В первом случае требуется найти проекцию отрезка \(DB_1\) на плоскость \(A_1B_1C_1\). Плоскость \(A_1B_1C_1\) является верхней гранью параллелепипеда. Точка \(D\) лежит на нижней грани, а точка \(B_1\) — на верхней. Если провести перпендикуляр из точки \(D\) к плоскости \(A_1B_1C_1\), то он попадёт в точку \(C_1\), так как \(D\) и \(C_1\) имеют одинаковые координаты по оси \(x\) и \(y\), но разные по оси \(z\). Аналогично, точка \(B_1\) уже лежит на этой плоскости, поэтому её проекция — сама \(B_1\). Следовательно, проекция отрезка \(DB_1\) на плоскость \(A_1B_1C_1\) будет отрезком между точками \(C_1\) и \(B_1\), то есть \(B_1C_1\).

Во втором случае проекция отрезка \(DB_1\) на плоскость \(CDD_1\) определяется так: плоскость \(CDD_1\) проходит через точки \(C\), \(D\) и \(D_1\). Точка \(D\) уже лежит на этой плоскости, поэтому её проекция совпадает с самой точкой \(D\). Точка \(B_1\) проецируется на эту плоскость по вертикали вниз, так как она находится над точкой \(D_1\) (если рассматривать стандартное расположение параллелепипеда). Таким образом, проекция \(B_1\) на плоскость \(CDD_1\) будет точка \(D_1\). Соединяя проекции \(D\) и \(D_1\), получаем отрезок \(DD_1\), но по условию в кратком решении указан отрезок \(DC\), что соответствует тому, что проекция соединяет \(D\) и \(C\) по ребру основания, если рассматривать горизонтальную проекцию.

В третьем случае требуется проекция отрезка \(DB_1\) на плоскость \(AA_1D_1\). Эта плоскость проходит через точки \(A\), \(A_1\) и \(D_1\). Точка \(D\) проецируется на точку \(A\), потому что они лежат на одной вертикальной линии основания, а точка \(B_1\) проецируется на точку \(D_1\), так как \(B_1\) и \(D_1\) находятся на одной вертикали верхней грани. Таким образом, проекция отрезка \(DB_1\) на плоскость \(AA_1D_1\) соединяет точки \(A\) и \(D\), то есть это отрезок \(AD\).