ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 11.20 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Из точки M к плоскости α проведены наклонные MN и MK, образующие со своими проекциями на данную плоскость углы по 60°. Найдите расстояние между основаниями данных наклонных, если угол между наклонными равен 90°, а расстояние от точки M до плоскости α равно \(\sqrt{3}\) см.

В треугольнике \(NMH\): \(\sin 60^\circ = \frac{MH}{NM}\), то есть \(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{NM}\), отсюда \(NM = 2\) см.

Аналогично, \(MK = 2\) см.

Так как угол между наклонными \(90^\circ\), по теореме Пифагора: \(NK^2 = NM^2 + MK^2 = 2^2 + 2^2 = 8\), значит \(NK = 2\sqrt{2}\) см.

1. Пусть \(MH\) — расстояние от точки \(M\) до плоскости \(\alpha\), \(MH = \sqrt{3}\) см. Точка \(H\) — основание перпендикуляра из \(M\) на плоскость, \(N\) и \(K\) — основания наклонных \(MN\) и \(MK\).

2. По условию угол между наклонной и её проекцией на плоскость равен \(60^\circ\). В треугольнике \(NMH\) угол при \(H\) равен \(60^\circ\), \(MH\) — противолежащий катет, \(NM\) — гипотенуза. Тогда по определению синуса: \(\sin 60^\circ = \frac{MH}{NM}\).

3. Подставим значения: \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), значит \(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{NM}\).

4. Отсюда \(NM = 2\) см. Аналогично, \(MK = 2\) см.

5. По условию угол между наклонными \(NMK = 90^\circ\).

6. В треугольнике \(NMK\) по теореме Пифагора: \(NK^{2} = NM^{2} + MK^{2}\).

7. Подставляем значения: \(NK^{2} = 2^{2} + 2^{2} = 4 + 4 = 8\).

8. Следовательно, \(NK = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) см.

9. Ответ: \(2\sqrt{2}\) см.