ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 11.21 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Из точки A к плоскости α проведены наклонные AB и AC, образующие со своими проекциями на данную плоскость углы по 30°. Найдите данные наклонные и расстояние от точки A до плоскости α, если угол между проекциями наклонных равен 90°, а расстояние между основаниями наклонных равно 6 см.

Пусть \( BH = CH = x \). Тогда по теореме Пифагора: \( x^2 + x^2 = 6^2 \), откуда \( 2x^2 = 36 \), значит \( x = 3\sqrt{2} \).

Угол между наклонной и её проекцией \( 30^\circ \): \( \cos 30^\circ = \frac{BH}{AB} \), то есть \( \frac{3\sqrt{2}}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{2} \), отсюда \( AB = AC = \frac{3\sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{6} \).

Расстояние от точки до плоскости: \( \tan 30^\circ = \frac{AH}{3\sqrt{2}} \), значит \( AH = 3\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \sqrt{6} \).

Ответ:
\( AB = AC = 2\sqrt{6} \) см, \( AH = \sqrt{6} \) см.

1. Пусть \( H \) — проекция точки \( A \) на плоскость \( \alpha \), \( B \) и \( C \) — основания наклонных \( AB \) и \( AC \), соответственно. Тогда \( BH \) и \( CH \) — проекции наклонных на плоскость, угол между ними \( 90^\circ \), а расстояние между точками \( B \) и \( C \) равно \( 6 \) см.

2. Рассмотрим треугольник \( BHC \). По условию, угол \( BHC = 90^\circ \), а \( BC = 6 \) см. Пусть \( BH = CH = x \). По теореме Пифагора: \( BH^2 + CH^2 = BC^2 \), то есть \( x^2 + x^2 = 6^2 \), откуда \( 2x^2 = 36 \), значит \( x^2 = 18 \), \( x = 3\sqrt{2} \).

3. Из условия, угол между наклонной \( AB \) и её проекцией \( BH \) равен \( 30^\circ \). По определению косинуса: \( \cos 30^\circ = \frac{BH}{AB} \). Тогда \( \frac{3\sqrt{2}}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{2} \), откуда \( AB = \frac{3\sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{6} \). Аналогично, \( AC = 2\sqrt{6} \).

4. Найдём расстояние от точки \( A \) до плоскости \( \alpha \), то есть \( AH \). В треугольнике \( ABH \) угол при \( H \) равен \( 30^\circ \), катет \( BH = 3\sqrt{2} \). По определению тангенса: \( \tan 30^\circ = \frac{AH}{BH} \), то есть \( \frac{AH}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \), откуда \( AH = 3\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \sqrt{6} \).

Ответ: \( AB = AC = 2\sqrt{6} \) см, \( AH = \sqrt{6} \) см.