ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 11.22 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка M находится на расстоянии 6 см от каждой вершины правильного треугольника ABC, сторона которого равна 9 см. Найдите расстояние от точки M до плоскости ABC.

Дано: сторона треугольника \(AB = 9\) см, расстояние от точки \(M\) до вершины \(MA = 6\) см.

Высота треугольника: \(AH = \frac{9\sqrt{3}}{2}\).

Расстояние от центра до вершины: \(AO = \frac{AH}{\sqrt{3}} = 3\).

По теореме Пифагора: \(MO = \sqrt{AM^2 — AO^2} = \sqrt{36 — 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\).

Ответ: \(MO = 3\) см.

В правильном треугольнике со стороной \(AB = 9\) см высота вычисляется по формуле \(AH = \frac{9\sqrt{3}}{2}\), так как высота правильного треугольника равна произведению стороны на \(\sqrt{3}\) и делённому на 2. Центр треугольника, являющийся точкой пересечения медиан, находится на расстоянии от вершины, равном \(\frac{2}{3}\) высоты. Поэтому \(AO = \frac{2}{3} \cdot \frac{9\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\) см.

Точка \(M\) расположена так, что расстояния до всех вершин треугольника равны и составляют \(6\) см. Это значит, что \(M\) находится на перпендикуляре к плоскости треугольника, проходящем через его центр. Для нахождения расстояния от точки \(M\) до плоскости треугольника (\(MO\)), используем теорему Пифагора для треугольника \(AMO\), где \(AM = 6\) см, \(AO = 3\sqrt{3}\) см: \(MO = \sqrt{AM^{2} — AO^{2}}\).

Подставляем значения: \(MO = \sqrt{6^{2} — (3\sqrt{3})^{2}} = \sqrt{36 — 27} = \sqrt{9} = 3\) см. Ответ: расстояние от точки \(M\) до плоскости треугольника \(MO = 3\) см.