ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 11.23 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Катеты прямоугольного треугольника ABC (\(\angle ACB = 90^\circ\)) равны 6 см и 8 см. Точка D удалена от каждой вершины данного треугольника на 13 см. Найдите расстояние от точки D до плоскости ABC.

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с катетами \(AC = 6\) см, \(CB = 8\) см, гипотенуза \(AB = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\) см.
Расстояние от середины гипотенузы \(H\) до любой вершины \(A\) или \(B\): \(AH = \frac{10}{2} = 5\) см.
Точка \(D\) равноудалена от всех вершин треугольника на \(13\) см, значит \(DH^2 = 13^2 — 5^2 = 169 — 25 = 144\),
поэтому \(DH = \sqrt{144} = 12\) см.

1. В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) прямой, катеты \(AC = 6\) см, \(CB = 8\) см. По теореме Пифагора находим гипотенузу:
\(AB = \sqrt{AC^2 + CB^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\) см.

2. Середина гипотенузы \(H\) делит её пополам:
\(AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5\) см.

3. Точка \(D\) равноудалена от вершин \(A\), \(B\), \(C\), то есть \(DA = DB = DC = 13\) см.

4. Расстояние от точки \(D\) до плоскости треугольника \(ABC\) равно расстоянию от \(D\) до точки \(H\), так как \(H\) — середина гипотенузы, а \(D\) лежит на перпендикуляре к плоскости, проходящем через \(H\).

5. По теореме Пифагора для треугольника \(ADH\):
\(DH^2 = DA^2 — AH^2 = 13^2 — 5^2 = 169 — 25 = 144\).

6. Тогда \(DH = \sqrt{144} = 12\) см.