ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 11.24 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка M равноудалена от вершин треугольника ABC и удалена от плоскости ABC на расстояние d. Найдите расстояние от точки M до вершин данного треугольника, если BC = a, \(\angle BAC = a\).

Дано: \(BC = a\), \(MO = d\), \(\angle BAC = \alpha\). Радиус описанной окружности: \(AO = \frac{a}{2\sin\alpha}\).

В треугольнике \(AMO\): \(MA^2 = AO^2 + MO^2\), значит \(MA = \sqrt{d^2 + \frac{a^2}{4\sin^2\alpha}}\).

В задаче точка \(M\) расположена вне плоскости треугольника \(ABC\) так, что она равноудалена от всех его вершин, а расстояние от точки \(M\) до центра описанной окружности \(O\) равно \(d\). Пусть сторона \(BC\) равна \(a\), а угол при вершине \(A\) равен \(\alpha\). Необходимо найти расстояние от точки \(M\) до любой вершины треугольника, например, до точки \(A\).

Сначала определим радиус описанной окружности около треугольника \(ABC\). Радиус \(R\) выражается через сторону \(BC\) и угол \(\alpha\) по формуле: \(R = \frac{BC}{2\sin\alpha}\). Следовательно, \(AO = \frac{a}{2\sin\alpha}\), где \(O\) — центр описанной окружности, а \(A\) — одна из вершин треугольника. Это расстояние будет одной из сторон прямоугольного треугольника \(AMO\), где \(MO = d\) — высота, опущенная из точки \(M\) на плоскость треугольника.

В треугольнике \(AMO\) угол при \(O\) прямой, так как \(MO\) — перпендикуляр к плоскости. По теореме Пифагора: \(MA^2 = AO^2 + MO^2\). Подставим найденные значения: \(MA^2 = \left( \frac{a}{2\sin\alpha} \right)^2 + d^2\). Раскрывая скобки и приводя к общему виду, получаем: \(MA = \sqrt{d^2 + \frac{a^2}{4\sin^2\alpha}}\).

Таким образом, расстояние от точки \(M\) до любой вершины треугольника \(ABC\) выражается формулой: \(MA = \sqrt{d^2 + \frac{a^2}{4\sin^2\alpha}}\).