ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 11.25 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В треугольнике ABC известно, что AB = BC = \(4\sqrt{5}\) см, AC = 8 см. Точка D расположена на расстоянии \(5\sqrt{5}\) см от каждой вершины треугольника ABC. Найдите расстояние от точки D до плоскости ABC.

В треугольнике \(AB = BC = 4\sqrt{5}\) см, \(AC = 8\) см. Точка \(D\) равноудалена от всех вершин (\(DA = DB = DC = 5\sqrt{5}\) см).

По теореме косинусов:
\(8^2 = (4\sqrt{5})^2 + (4\sqrt{5})^2 — 2 \cdot (4\sqrt{5}) \cdot (4\sqrt{5}) \cdot \cos B\)
\(64 = 80 + 80 — 2 \cdot 80 \cdot \cos B\)
\(64 = 160 — 160\cos B\)
\(\cos B = \frac{3}{5}\)

\(\sin B = \sqrt{1 — \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \frac{4}{5}\)

Расстояние от точки \(D\) до плоскости \(ABC\):
\(DO = \frac{AC}{2\sin B} = \frac{8}{2 \cdot \frac{4}{5}} = \frac{8}{\frac{8}{5}} = 5\) см

1. Дано: \(AB = BC = 4\sqrt{5}\) см, \(AC = 8\) см, \(DA = DB = DC = 5\sqrt{5}\) см. Требуется найти расстояние от точки \(D\) до плоскости \(ABC\).

2. По теореме косинусов для треугольника \(ABC\):
\(AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B\)
\(8^{2} = (4\sqrt{5})^{2} + (4\sqrt{5})^{2} — 2 \cdot (4\sqrt{5}) \cdot (4\sqrt{5}) \cdot \cos B\)
\(64 = 80 + 80 — 2 \cdot 80 \cdot \cos B\)
\(64 = 160 — 160\cos B\)
\(160\cos B = 160 — 64 = 96\)
\(\cos B = \frac{96}{160} = \frac{3}{5}\)

3. Находим \(\sin B\):
\(\sin^{2} B = 1 — \cos^{2} B = 1 — \left(\frac{3}{5}\right)^{2} = 1 — \frac{9}{25} = \frac{16}{25}\)
\(\sin B = \frac{4}{5}\)

4. Тетраэдр \(ABCD\) правильный, точка \(D\) равноудалена от всех вершин основания. Расстояние от \(D\) до плоскости \(ABC\) равно высоте, опущенной из вершины на основание.

5. Высота правильного тетраэдра выражается через сторону основания \(a\) и угол между сторонами основания:
\(DO = \frac{AC}{2\sin B}\)

6. Подставляем значения:
\(DO = \frac{8}{2 \cdot \frac{4}{5}} = \frac{8}{\frac{8}{5}} = 5\) см