ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 11.26 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Вершина A треугольника ABC лежит в плоскости α, а сторона BC параллельна плоскости α. Из точек B и C опущены на плоскость α перпендикуляры BB₁ и CC₁. Проекция отрезка AB на плоскость α равна 14 см, а проекция отрезка AC — \(3\sqrt{5}\) см. Найдите сторону BC, если BB₁ = 2 см, \(\angle BAC = 45^\circ\).

Длины сторон находим по теореме Пифагора:
\(AB = \sqrt{14^2 + 2^2} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}\)
\(AC = \sqrt{(3\sqrt{5})^2 + 2^2} = \sqrt{45 + 4} = \sqrt{49} = 7\)

Используем формулу косинуса:
\(BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos 45^\circ\)

Подставляем значения:
\(BC^2 = (10\sqrt{2})^2 + 7^2 — 2 \cdot 10\sqrt{2} \cdot 7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(BC^2 = 200 + 49 — 140 = 109\)
\(BC = \sqrt{109}\)

В задаче по фото использованы другие значения (проекции), поэтому:
\(AB = 3\sqrt{2}\), \(AC = 7\), \(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(BC^2 = (3\sqrt{2})^2 + 7^2 — 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(BC^2 = 18 + 49 — 42 = 25\)
\(BC = 5\)

Для начала определим длины сторон треугольника \(ABC\) в пространстве, используя теорему Пифагора. Из условия известно, что вершина \(A\) лежит на плоскости \(\alpha\), а стороны \(AB\) и \(AC\) имеют проекции на эту плоскость: \(AB_1 = 14\) и \(AC_1 = 3\sqrt{5}\). Также известно, что перпендикуляры из точек \(B\) и \(C\) на плоскость \(\alpha\) равны \(2\). Поэтому длины сторон \(AB\) и \(AC\) вычисляются по формуле: \(AB = \sqrt{AB_1^2 + BB_1^2}\) и \(AC = \sqrt{AC_1^2 + CC_1^2}\). Подставляем значения: \(AB = \sqrt{14^2 + 2^2} = \sqrt{196 + 4} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}\), а \(AC = \sqrt{(3\sqrt{5})^2 + 2^2} = \sqrt{45 + 4} = \sqrt{49} = 7\).

Далее воспользуемся формулой косинуса для нахождения стороны \(BC\). Формула косинуса в пространственном треугольнике выглядит так: \(BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC\). Из условия задачи угол между сторонами \(AB\) и \(AC\) равен \(45^\circ\), значит \(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Подставляем все найденные значения: \(BC^2 = (10\sqrt{2})^2 + 7^2 — 2 \cdot 10\sqrt{2} \cdot 7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\). Сначала вычислим квадрат и произведения: \((10\sqrt{2})^2 = 100 \cdot 2 = 200\), \(7^2 = 49\), \(2 \cdot 10\sqrt{2} \cdot 7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2} \cdot 7 \cdot \sqrt{2} = 70 \cdot 2 = 140\). Получаем: \(BC^2 = 200 + 49 — 140 = 109\), значит \(BC = \sqrt{109}\).

Однако, если использовать значения, которые приведены на фото решения, где \(AB = 3\sqrt{2}\), \(AC = 7\), то расчёт будет следующим. В этом случае: \(BC^2 = (3\sqrt{2})^2 + 7^2 — 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\). Вычисляем: \((3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18\), \(7^2 = 49\), \(2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \cdot 7 \cdot \sqrt{2} = 21 \cdot 2 = 42\). Следовательно, \(BC^2 = 18 + 49 — 42 = 25\), а значит \(BC = 5\).