ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 11.27 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Через вершину B прямоугольного треугольника ABC (\(\angle ACB = 90^\circ\)) проведена плоскость β, параллельная прямой AC. Найдите проекцию гипотенузы AB на плоскость β, если BC = 20 см, AC = 15 см, а проекция катета BC на эту плоскость равна 12 см.

1. В треугольнике \(CC_1B\): по теореме Пифагора
\(CC_1^2 = CB^2 — C_1B^2\)
\(CC_1^2 = 20^2 — 12^2 = 400 — 144 = 256\)
\(CC_1 = 16\) (см), значит \(AA_1 = 16\) (см).

2. В треугольнике \(ABA_1\): по теореме Пифагора
\(A_1B^2 = AB^2 — AA_1^2\)
\(A_1B^2 = 25^2 — 16^2 = 625 — 256 = 369\)
\(A_1B = \sqrt{369} = 3\sqrt{41}\) (см).

Рассмотрим задачу более подробно. Дано, что треугольник \( \triangle ABC \) прямоугольный, угол \( C = 90^\circ \), стороны \( BC = 20 \) см, \( AC = 15 \) см. Также известно, что \( BB_1 = 25 \) см, \( BC_1 = 12 \) см, причем \( AC \parallel B_1B \), а точка \( B \) лежит на плоскости \( B_1B \). Требуется найти длину \( A_1B \).

Для начала рассмотрим треугольник \( CB C_1 \), где \( CC_1 \) перпендикулярен плоскости основания. По теореме Пифагора находим длину \( CC_1 \):
\( CC_1^2 = CB^2 — C_1B^2 \).
Подставим значения: \( CB = 20 \) см, \( C_1B = 12 \) см. Получаем:
\( CC_1^2 = 20^2 — 12^2 = 400 — 144 = 256 \).
Следовательно, \( CC_1 = \sqrt{256} = 16 \) см. Так как \( AA_1 \) параллелен \( CC_1 \) и равен ему по длине, то \( AA_1 = 16 \) см.

Далее рассмотрим треугольник \( ABA_1 \), в котором \( AB \) — это диагональ основания, а \( AA_1 \) — высота, проведённая к плоскости основания. По теореме Пифагора вычисляем длину \( A_1B \):
\( A_1B^2 = AB^2 — AA_1^2 \).
Здесь \( AB = BB_1 = 25 \) см, \( AA_1 = 16 \) см. Подставляем значения:
\( A_1B^2 = 25^2 — 16^2 = 625 — 256 = 369 \).
Следовательно, \( A_1B = \sqrt{369} \).

Для окончательного ответа разложим корень на множители: \( 369 = 9 \times 41 \), поэтому
\( A_1B = \sqrt{9 \times 41} = 3\sqrt{41} \).