ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 11.28 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сторона AD ромба ABCD лежит в плоскости α. Прямая BC удалена от плоскости α на 3 см. Найдите проекции на плоскость α отрезков CD, AC и BD, если AC = 8 см, BD = 6 см.

AC и BD – диагонали ромба, CD – сторона. Пусть проекция BC на плоскость α – точка B’, расстояние от BC до α – 3 см.
AC = 8 см, BD = 6 см. Тогда CD = 4 см (так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом, \(CD = \sqrt{(\frac{AC}{2})^2 + (\frac{BD}{2})^2} = \sqrt{16 + 9} = 5\), но по условию CD – сторона, и ее проекция равна расстоянию между параллельными прямыми, то есть 4 см).

Проекция AC:
\(AC’ = \sqrt{AC^2 — h^2} = \sqrt{64 — 9} = \sqrt{55}\) см.

Проекция BD:
\(BD’ = \sqrt{BD^2 — h^2} = \sqrt{36 — 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\) см.

Ответ:
4 см, \(\sqrt{55}\) см, \(3\sqrt{3}\) см

Пусть ромб ABCD расположен так, что сторона AD лежит в плоскости α, а диагонали AC и BD пересекаются под прямым углом в центре ромба O. Прямая BC удалена от плоскости α на 3 см, это расстояние — высота h, которую нужно учесть при нахождении проекций диагоналей и стороны ромба на плоскость α. По условию задачи длины диагоналей: \(AC = 8\) см, \(BD = 6\) см.

Для нахождения проекций диагоналей AC и BD на плоскость α используем теорему Пифагора. Если отрезок длины \(L\) наклонён к плоскости под углом, и расстояние между концом отрезка и плоскостью равно \(h\), то длина проекции на плоскость равна \(L’ = \sqrt{L^{2} — h^{2}}\). Поэтому проекция диагонали AC равна \(AC’ = \sqrt{8^{2} — 3^{2}} = \sqrt{64 — 9} = \sqrt{55}\) см, а проекция диагонали BD равна \(BD’ = \sqrt{6^{2} — 3^{2}} = \sqrt{36 — 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\) см.

Сторона CD ромба перпендикулярна высоте, соединяющей плоскость α и точку C, поскольку диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Если одна вершина лежит на плоскости, а противоположная удалена на h, то проекция стороны CD на плоскость α равна расстоянию между параллельными прямыми, то есть просто длине горизонтальной составляющей стороны. В данном случае она равна 4 см по условию задачи.

Ответ:
4 см, \(\sqrt{55}\) см, \(3\sqrt{3}\) см