ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 11.29 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Вершины A и B прямоугольника ABCD принадлежат плоскости α, а вершины C и D не принадлежат этой плоскости. Найдите расстояние от прямой CD до плоскости α, если AB = 5 см, BC = 12 см, а проекция диагонали прямоугольника на плоскость α равна \(2\sqrt{22}\) см.

Длина диагонали прямоугольника: \( BD = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \) см.

Проекция диагонали на плоскость: \( BD \cdot \cos\theta = 2\sqrt{22} \), значит \( \cos\theta = \frac{2\sqrt{22}}{13} \).

Тогда \( \sin^2\theta = 1 — \left(\frac{2\sqrt{22}}{13}\right)^2 = 1 — \frac{88}{169} = \frac{81}{169} \), значит \( \sin\theta = \frac{9}{13} \).

Расстояние: \( DH = BD \cdot \sin\theta = 13 \cdot \frac{9}{13} = 9 \) см.

Для начала находим длину диагонали прямоугольника \( BD \). Поскольку стороны \( AB = 5 \) см и \( BC = 12 \) см, по теореме Пифагора получаем: \( BD = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \) см. Таким образом, диагональ \( BD \) равна 13 см. Это важно, потому что именно эту диагональ мы будем рассматривать для нахождения расстояния от прямой \( CD \) до плоскости \( \alpha \).

Далее, известно, что проекция диагонали \( BD \) на плоскость \( \alpha \) равна \( 2\sqrt{22} \) см. Проекция вектора на плоскость выражается как произведение длины вектора на косинус угла между этим вектором и плоскостью: \( BD \cdot \cos\theta = 2\sqrt{22} \), где \( \theta \) — угол между диагональю \( BD \) и плоскостью \( \alpha \). Тогда находим косинус этого угла: \( \cos\theta = \frac{2\sqrt{22}}{13} \). Теперь для дальнейших вычислений нам нужен синус угла \( \theta \), так как расстояние от точки \( D \) до плоскости \( \alpha \) (а значит, и от прямой \( CD \), поскольку \( CD \) параллельна плоскости) выражается как \( BD \cdot \sin\theta \).

Вычислим \( \sin\theta \) через основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2\theta = 1 — \cos^2\theta \). Подставляем найденное значение косинуса: \( \sin^2\theta = 1 — \left(\frac{2\sqrt{22}}{13}\right)^2 = 1 — \frac{4 \cdot 22}{169} = 1 — \frac{88}{169} = \frac{81}{169} \). Получаем \( \sin\theta = \frac{9}{13} \). Теперь находим искомое расстояние: \( DH = BD \cdot \sin\theta = 13 \cdot \frac{9}{13} = 9 \) см. Это и есть расстояние от прямой \( CD \) до плоскости \( \alpha \).