ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 11.3 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Из точки к плоскости проведены перпендикуляр длиной 12 см и наклонная длиной 13 см. Найдите проекцию этой наклонной на данную плоскость.

Дано: наклонная \(AC = 13\) см, перпендикуляр \(AB = 12\) см.

По теореме Пифагора: \(CB^2 = AC^2 — AB^2\).

\(CB^2 = 13^2 — 12^2 = 169 — 144 = 25\).

\(CB = \sqrt{25} = 5\) см.

Ответ: проекция наклонной на плоскость равна \(5\) см.

Пусть из точки к плоскости проведён перпендикуляр \(AB\) длиной \(12\) см и наклонная \(AC\) длиной \(13\) см. Требуется найти длину проекции наклонной \(AC\) на плоскость, то есть отрезок \(CB\), где \(B\) — основание перпендикуляра, а \(C\) — основание наклонной на плоскости.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABC\), в котором угол при вершине \(B\) прямой, так как \(AB\) — перпендикуляр к плоскости, а \(CB\) — проекция наклонной \(AC\) на плоскость. Согласно теореме Пифагора, квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов катетов: \(AC^{2} = AB^{2} + CB^{2}\).

Выразим \(CB\) через известные длины: \(CB^{2} = AC^{2} — AB^{2}\). Подставим значения: \(CB^{2} = 13^{2} — 12^{2} = 169 — 144 = 25\). Теперь найдём \(CB\): \(CB = \sqrt{25} = 5\) см.

Таким образом, проекция наклонной \(AC\) на плоскость, то есть длина отрезка \(CB\), равна \(5\) см. Это значение получено с использованием прямоугольного треугольника и теоремы Пифагора, где один катет — это перпендикуляр к плоскости, а другой — искомая проекция наклонной.