ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 11.30 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно a. Найдите расстояние между прямыми B₁D₁ и AA₁.

Введём координаты: \(A(0,0,0)\), \(A_1(0,0,a)\), \(B_1(a,0,a)\), \(D_1(0,a,a)\).

Направляющий вектор \(AA_1\): \((0,0,a)\).

Направляющий вектор \(B_1D_1\): \((-a,a,0)\).

Вектор между \(A\) и \(B_1\): \((a,0,a)\).

Расстояние между прямыми вычисляется по формуле:
\(d = \frac{|\vec{AB_1} \cdot (\vec{AA_1} \times \vec{B_1D_1})|}{|\vec{AA_1} \times \vec{B_1D_1}|}\).

\(\vec{AA_1} \times \vec{B_1D_1} = (-a^2, -a^2, 0)\).

\(|\vec{AA_1} \times \vec{B_1D_1}| = a^2\sqrt{2}\).

\(\vec{AB_1} \cdot (\vec{AA_1} \times \vec{B_1D_1}) = -a^3\), по модулю \(a^3\).

Ответ: \(d = \frac{a\sqrt{2}}{2}\).

Рассмотрим куб с длиной ребра \(a\). Введём координаты его вершин: \(A(0,0,0)\), \(A_1(0,0,a)\), \(B_1(a,0,a)\), \(D_1(0,a,a)\). Прямая \(AA_1\) проходит через точки \(A\) и \(A_1\), её направляющий вектор равен \((0,0,a)\). Прямая \(B_1D_1\) проходит через точки \(B_1\) и \(D_1\), её направляющий вектор равен \((-a,a,0)\). Для поиска расстояния между скрещивающимися прямыми удобно использовать формулу: \(d = \frac{|\vec{AB_1} \cdot (\vec{AA_1} \times \vec{B_1D_1})|}{|\vec{AA_1} \times \vec{B_1D_1}|}\), где \(\vec{AB_1}\) — вектор между точкой \(A\) и точкой \(B_1\).

Вычислим необходимые векторы. Вектор \(\vec{AB_1} = (a,0,a)\). Векторное произведение \(\vec{AA_1} \times \vec{B_1D_1}\) определим по правилу вычисления определителя: первая координата равна \(0 \cdot 0 — a \cdot a = -a^2\), вторая \(0 \cdot (-a) — a \cdot 0 = -a^2\), третья \(0 \cdot a — 0 \cdot (-a) = 0\). То есть, \(\vec{AA_1} \times \vec{B_1D_1} = (-a^2, -a^2, 0)\). Модуль этого вектора равен \(\sqrt{(-a^2)^2 + (-a^2)^2 + 0^2} = \sqrt{a^4 + a^4} = a^2\sqrt{2}\).

Вычислим скалярное произведение: \(\vec{AB_1} \cdot (\vec{AA_1} \times \vec{B_1D_1}) = a \cdot (-a^2) + 0 \cdot (-a^2) + a \cdot 0 = -a^3\). По модулю получаем \(a^3\). Подставляем значения в формулу расстояния: \(d = \frac{a^3}{a^2\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\). Таким образом, расстояние между прямыми \(AA_1\) и \(B_1D_1\) в кубе с длиной ребра \(a\) равно \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\).